Рис. 4.7.4. Графическая интерпретация угла сдвига

4.8.Потенциальная энергия упругой деформации при объёмном напряжённом состоянии

Потенциальная энергия упругой деформации при центральном растяжении или сжатии, то есть в случае линейного напряж¼нного состояния, определяется по формуле

учитывая, что = · .

·

Удельная потенциальная энергия упругой деформации, то есть энер-

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

гия, накопленная в единие объ¼ма, при линейном напряж¼нном состоянии

.

Согласно принципа суперпозиции, удельная потенциальная энергия при объ¼мном напряж¼нном состоянии (рис. 4.8.1) определяется как сумма энергий, накапливаемых в единице объ¼ма под действием каждого из главных напряжений 1, 2, 3:

Рис. 4.8.1. Объ¼мное напряж¼нное состояние

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

+ 2 · ( 2 − · 3 − · 1 ) + 3 · ( 3 − · 1 − · 2 )].

После алгебраических преобразований получим

0 = 2 ·1 [ 12 + 22 + 32 − 2 · · ( 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 1)].

Полная удельная энергия деформации может быть разделена на две части:

1)энергию изменения объ¼ма, то есть энергию, накапливаемую за сч¼т изменения объ¼ма элементарного кубика при сохранении его формы;

2)ф энергию изменения формы, то есть энергию, накапливаемую

за сч¼т изменения формы элементарного кубика и превращения его в элементарный параллепипед.

Определим величину обеих составляющих удельной потенциальной энергии. Как уже было сказано, при одинаковой деформации р¼бер элементарного кубика , то есть при изменении только объ¼ма, отно-

действует на каждую грань элементарного кубика. = 3 · (1 − 2 · 2)

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

модуль объ¼мной деформации. Следовательно, энергия изменения объ¼ма равна

−1 − 2 · · ( 1 + 2 + 3)2. 6 ·

Произведя алгебраические преобразования, получим

ф = 13−· · ( 12 + 22 + 32 − 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 1).

4.9.Относительное изменение объёма тела

Вычислим изменение объ¼ма прямоугольного параллепипеда со сторонами , , при объ¼мном напряж¼нном состоянии. Грани паралле-

пипеда являются главными площадками (рис. 4.9.1). До деформации его объ¼м равен = · · .

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Рис. 4.9.1. Определение изменения объ¼ма тела

После деформации, вследствие изменения длины р¼бер, его объ¼м станет:

1 = ( + ) · ( + ) · ( + ) = · · + · · + + · · + · · + · · + · · + · · + · · =

При вычислении 1 бесконечно малыми слагаемыми второго и третьего порядка малости пренебрегаем.

Относительное изменение объ¼ма:

= 1 − = 1 + 2 + 3.

Подставив вместо 1, 2, 3 их значения из обобщ¼нного закона Гука,

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

получим

= 1 − 2 2 · ( 1 + 2 + 3).

Из полученных формул видно, что относительное изменение объ¼ма зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому элементарный кубик (или параллепипед) получит одно и то же изменение объ¼ма независимо от того, будут ли по его граням действовать различные по величине главные напряжения или

одинаковые напряжения, равные их среднеарифметическому значению

1 + 2 + 3

= 3 гидростатическому давлению.

Следовательно,

= 1 − 2 2 · 3 · .

Обозначая 3 · (1 − 2 · 2) = модуль объ¼мной деформации, по-

1

лучим = · или = · закон Гука при объ¼мном напряж¼нном состоянии.

В случае, если элементарный кубик находится под действием гид-

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Средняя линейная деформация прямо пропорциональна гидростатическому давлению.

4.10.Теории предельных напряжённых со-

стояний (теории прочности)

Так называют теории, которые позволяют составить условие проч- ности при любом напряж¼нном состоянии.

Условие прочности это зависимость между компонентами напряж¼нного состояния и характеристиками материала, позволяющая дать заключение о прочности детали (тела).

При линейном напряж¼нном состоянии (рис. 4.10.1) условие проч- ности записывается в виде

| | наиб= | | наиб ≤ [ ],

ãäå [ ] = ; опасное или предельное напряжение, вызывающее

в детали опасное состояние; коэффициент запаса прочности. Для пластичных материалов = т, а для хрупких = в.

При линейном напряж¼нном состоянии опасное напряжение может быть найдено опытным пут¼м при испытании образцов на растяжение.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Рис. 4.10.1. Прочность при линейном напряж¼нном состояним

Рассмотрим далее вопрос о том, как производить проверку проч- ности в случае объ¼много напряженного состояния, то есть когда все три главных напряжения 1, 2, 3 отличны от нуля (рис. 4.10.2). В этом случае опасное состояние может наступить при различных вели- чинах главных напряжений в зависимости от их соотношения, то есть каждому соотношению 1 : 2 : 3 будут соответствовать свои опасные

величины главных напряжений 1 , 2 , 3 .

Чтобы найти опытным пут¼м опасные величины главных напряжений, пришлось бы осуществить бесчисленное множество чрезвычайно сложных лабораторных испытаний при различных соотношениях 1 :

2 : 3, прич¼м, некоторые из этих соотношений, вообще невозможно получить на существующих испытательных машинах. По этим причи- нам опасное состояние материала при объ¼мном напряж¼нном состоя-

Назад

На весь экран

Рис. 4.10.2. Прочность при объ¼мном напряж¼нном состояним

нии устанавливают теоретическим пут¼м при помощи так называемых теорий прочности.

Теорией прочности называют предположение (гипотезу) о преимущественном влиянии того или иного фактора (критерия) напряж¼нного состояния на прочность материала. Цель теорий прочности заклю- чается в том, чтобы, исходя из результатов простого опыта на растяжение и сжатие, получить возможность судить о прочности материала при объ¼мном напряж¼нном состоянии.

К настоящему времени выдвинуты десятки, даже сотни различных теорий прочности, но в расч¼тной практике, в основном, используются только четыре.

JJ II

J I

Назад

На весь экран