ных напряжений. Установим площадку, на которой действуют наиб это площадка, параллельная 2 и наклон¼нная под углом 45 к главным напряжениям 1 è 3.
Таким образом, мы научились определять напряжения на любых площадках при линейном, плоском и объ¼мном напряж¼нном состояниях. Однако, для расч¼тов на прочность и ж¼сткость этого ещ¼ не достаточно. Необходимо установить связь между напряжениями и деформациями, а также записать условия прочности для объ¼много напряж¼нного состояния.
4.7.Закон Гука при объёмном напряжённом состоянии
Закон Гука устанавливает зависимость между напряжениями и деформациями.
При линейном напряж¼нном состоянии эта зависимость была уста-
новлена при изучении центрального растяжения и сжатия (рис. 4.7.1):= закон Гука,поп = − · = − · закон Пуассона.
Теперь рассмотрим произвольно нагруженное тело и точку , в которой имеет место объ¼мное напряж¼нное состояние (рис. 4.7.2, à). Âûðå-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.7.1. Деформации при линейном напряж¼нном состоянии
жем в окрестности точки элемент, грани которого являются главными площадками и определим деформации в направлениях 1, 2, 3.
Принцип суперпозиции позволяет представить объ¼мное напряж¼нное состояние как сумму тр¼х линейных и записать (рис. 4.7.2, á-ã)
1 = 11 + 12 + 13 = 1 − · 2 − · 3 ;
èëè |
|
1 |
|
||
1 |
= |
· [ 1 − · ( 2 + 3)]; |
|||
|
|
||||
|
|||||
2 |
= |
1 |
· [ 2 − · ( 3 + 1)]; |
||
|
|
||||
|
|||||
Закрыть
Рис. 4.7.2. Принцип суперпозиции для вычисления деформаций
1
3 = · [ 3 − · ( 1 + 2)].
Эти уравнения представляют собой обобщ¼нный закон Гука, записанный в главных осях.
Относительные продольные деформации 1, 2, 3 по направлению
главных напряжений называют главными деформациями. |
|
1 ≥ 2 ≥ 3, òàê êàê 1 ≥ 2 ≥ 3. Кроме того 1 = наиб, |
3 = |
наим в алгебраическом смысле.
Теперь запишем закон Гука в произвольных осях, для чего вырежем в окрестности точки элемент, грани которого не являются главными площадками (рис. 4.7.3).
На площадках действуют 9 компонент напряж¼нного состояния. Нормальные напряжения вызывают только линейные деформации и не влияют на угловые. Касательные напряжения вызывают только угловые (сдвиговые) деформации и не влияют на линейные. Тогда
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 4.7.3. Напряжения на произвольных площадках
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
; |
|
|
|
||||
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
; |
|
|
|
||||
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
, |
|
|
|
ãäå изменение первоначально прямого угла между прямыми, па- раллельными осям x и y. Покажем , для чего рассеч¼м тело плоскостью, параллельной плоскости , до и после нагружения (рис. 4.7.4).
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть