6.8.Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям
При расч¼те балок по допускаемым напряжениям за опасное принимается такое состояние при котором эквивалентные напряжения до-
стигают предела текучести т. Этот способ расч¼та применяется для
балок, в которых остаточные деформации недопустимы. Выбираем в произвольном сечении балки (рис. 6.8.1) произвольную точку , в кото-
рой будем оценивать прочность (в дальнейшем будем оценивать проч- ность в опасном сечении). В поперечном сечении действуют поперечная сила и изгибающий момент пусть для определ¼нности они будут
положительными.
Рис. 6.8.1. Расч¼т на прочность в произвольной точке
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
По формулам = |
|
· |
, |
= |
· отс |
определяем напряжения и |
|||
|
|
|
|||||||
строим их эпюры. |
|
|
|
|
· |
( ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь, в окрестности точки вырежем элемент и покажем напря-
жения по граням (рис. 6.8.2). На верхней и нижней площадках нормальных напряжений нет, действуют только касательные напряжения. На боковых гранях действуют и нормальные, и касательные напряжения. Элемент испытывает плоское напряж¼нное состояние: = ,
= , = 0, = − .
Рис. 6.8.2. Напряж¼нное состояние детали в точке
Для составления условия прочности необходимо найти главные напряжения
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
· [( + ) ± √( − )2 + 4 · 2] = |
|
|
|
|||||||
, = |
· ( ± √ 2 + 4 · 2). |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
||||||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
|
|
|
|
1 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
√ |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
= |
|
· ( + |
|
2 |
+ 4 |
2 |
), |
= |
|
2 |
2 |
). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
· |
· ( − |
|
+ 4 · |
|
|||||||||||||||||
|
Так как ≥ 0 и ≤ 0, присвоим главныем напряжениям араб- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
ские индексы |
1 = |
|
· ( + |
|
2 |
+ 4 |
2 |
), |
|
|
2 = 0, |
|
|
3 = |
· ( − |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
√ |
|
|
). |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 + 4 · 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее следует воспользоваться подходящей теорией прочности. Балки обычно изготавливаются из сталей, из алюминиевых или магниевых сплавов, то есть из пластичных материалов, поэтому воспользуемся IV- й теорией прочности.
|
экв = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
экв ≤ [ ], |
12 + 22 + 32 − 1 · 2 |
− 2 · 3 − 3 · 1. |
|||||||||||
|
|
|
= √ |
|
. |
||||||||
Подставив значения главных напряжений, получим экв |
2 + 3 · 2 |
||||||||||||
Эта формула применима не только для положительных и , но и |
|||||||||||||
для отрицательных. Тогда √ |
|
≤ [ ] условие прочности для |
|||||||||||
2 + 3 · 2 |
|||||||||||||
произвольной точки балки по способу допускаемых напряжений. |
|||||||||||||
Чтобы проверить прочность всей балки, нужно взять опасную точ- |
|||||||||||||
ку наиболее опасного сечения, т. е. для всей балки |
наиб |
[ ] |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
экв ≤ |
|
|
|
|
|
Как найти наиб |
экв |
|
= ( , ) на экстре- |
||||||||||
|
экв ? Нужно исследовать |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мум. Сначала исследовать по контуру сечения, затем внутри, найти все экстремумы, а затем выбрать наибольшее по абсолютной величине значение.
Опыт расч¼тов, накопленных к настоящему времени, показывает,
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
что наибольшие эквивалентные напряжения могут быть в одной из следующих точек:
1. точка с наибольшим по абсолютной величине нормальным на-
пряжением; 2. точка с наибольшим касательным напряжением в поперечном
сечении;
3.точка в месте резкого изменения ширины поперечного сечения
âсечении с большими значениями поперечных сил и изгибающих моментов.
Рассмотрим подробнее эти точки.
Первая опасная точка (почти всегда она и бывает самой опасной)(рис. 6.8.3).
Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения воз-
никают в наиболее удал¼нной от нейтральной оси точке сечения, где
действует |
| |
наиб, и равны |
| |
|
| |
наиб= |
| |наиб |
· | |
|
| |
наиб . |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем применять условие прочности: | |=| |наиб, |
= 0, тогда |
||||||||||||
экв =| |наиб ≤ [ ]. Íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= , тогда условие прочности в |
||||||||||||
| |наиб |
|||||||||||||
наиб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первой опасной точке запишется в виде
| |наиб
≤ [ ].
Таким образом, первая опасная точка находится в сечении с наи-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 6.8.3. Первая опасная точка
большим по абсолютной величине изгибающим моментом в наиболее удал¼нной от нейтральной оси точке.
Вторая опасная точка (ðèñ. 6.8.4).
Это точка с наибольшими касательными напряжениями. Выясним, где она находится. По формуле Журавского
= |
· отс |
, |
тогда |
наиб = |
| |наиб |
( |
отс |
)наиб. |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
· |
( ) |
|
|
|
|
|
· ( ) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
Наибольшее значение касательных напряжений будет тогда, когда выражение в круглой скобке будет наибольшим, то есть на нейтральной
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 6.8.4. Вторая опасная точка
îñè (í.î.).
наиб = | |наиб · ( отс )н.о..
( )
Таким образом, вторая опасная точка находится на нейтральной оси в сечении с наибольшей по абсолютной величине поперечной силой. Запишем условие прочности для этой точки. Для не¼: = 0, = наиб,
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] |
|
||||
тогда |
экв |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
наиб. Íî |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
+ 3 · |
|
= |
|
|
3 · |
|
|
|
[ ] = √3 |
. Следовательно, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |наиб |
|
|
( |
отс |
)н.о. |
≤ |
[ ] |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
( ) |
|
|
||||||||||
Закрыть
условие прочности во второй опасной точке.
Эта точка бывает наиболее опасной только для коротких балок. Третья опасная точка (ðèñ. 6.8.5).
Рис. 6.8.5. Третья опасная точка
Эта точка находится в месте резкого изменения ширины сечения. Такое наблюдается, например, у двутавровых балок
√
экв = оп2 + 3 · оп2 ≤ [ ]
условие прочности в третьей опасной точке.
Эту точку нужно рассматривать в том сечении, где подкоренное выражение будет наибольшим. В ряде случаев это просто, когда | |
наиб и | | наиб находятся в одном сечении, тогда именно в этом
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть