Глава 5
Геометрические характеристики поперечного сечения бруса
Этот раздел геометрии изучается в курсе сопротивления материалов, так как геометрические характеристики участвуют в формулах при определении напряжений, перемещений, деформаций.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
5.1.Основные понятия о геометрических характеристиках
Рассмотрим произвольное поперечное сечение бруса, провед¼м оси, с произвольным началом координат . Выделим элементарную
часть сечения (рис. 5.1.1).Рассмотрим геометрические характери-
стики поперечного сечения бруса, необходимые при изучении сопротивления материалов.
Рис. 5.1.1. Поперечное сечение бруса
Первая геометрическая характеристика уже встречалась:
∫
= площадь сечения, она используется при растяжении и
|
|
|
· |
|
|
||
сжатии в таких формулах, как: = |
|
, |
= |
. |
|
||
|
|
относительно |
|||||
= |
статический момент площади сечения· |
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
îñè ,
∫
= статический момент площади сечения относительно
îñè .
используются в формулах для касательных напряжений при изгибе и при нахождении положения центра тяжести сечения:
= |
|
, |
= |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||
= |
∫ |
2 |
осевой момент инерции сечения относительно оси . |
|
|
= |
|
2 |
осевой момент инерции сечения относительно оси ; |
|
|
|
|
|
, |
|
∫ > 0, так как координаты в квадрате. Эти характеристики |
||
|
|
|
|
|
используются в формулах при изгибе.
∫
= · центробежный момент инерции сечения относи-
тельно осей , .
В зависимости от положения осей 7 0. Это вспомогательная характеристика, она в формулах сопротивления материалов непосредственно не участвует, но с е¼ помощью определяются главные моменты
инерции сечения и положение главных осей инерции сечения.
= ∫ 2 полярный момент инерции сечения относительно на-
чала координат. Очевидно, что > 0. Используется в формулах при
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
кручении.
Установим связь между полярным и осевыми моментами инерции:
2 = 2 + 2, тогда = ∫ 2 = ∫ ( 2 + 2) = + , следо-
вательно,
= + = 1 + 1 .
Следствие из этого равенства: + = 1 + 1 = .
Таким образом при повороте осей (рис. 5.1.2) сумма осевых моментов инерции не изменяется. Иначе: сумма осевых моментов инерции является инвариантом.
Рис. 5.1.2. Поперечное сечение образца
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть