Глава 8
Устойчивость сжатых стержней
8.1.Потеря устойчивости сжатым стержнем. Формула Эйлера для критической силы
Рассмотрим сжатый стержень с шарнирным закреплением. Будем считать, что шарниры шаровые, т. е. во всех плоскостях закрепление одинаково (рис. 8.1.1).
На стержень действует сжимающая сила . В нижней опоре возникает сила реакции = .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 8.1.1. Потеря устойчивости сжатым стержнем
Условие прочности для стержня должно быть тем, при достаточно большой длине разрушение стержня происходит
и при Происходит это следующим образом: с ростом силы стержень
сначала оста¼тся прямолинейным, однако, при некотором значении силы = кр, стержень вдруг выпучивается (пунктирные линии), т. е.
возникают прогибы, соизмеримые с длиной стержня. При этом, к напряжениям от сжатия добавляются напряжения от изгиба и вот,
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
õîòÿ < [ ], но суммарное напряжение достигает предела прочности материала и стержень разрушается. Стержень может и не разрушить-
ся, но выпучится и останется в выпученном состоянии. Явление выпу- чивания в конструкциях не допустимо, т. к. нарушается нормальные условия работы всей конструкции. Описанное явление выпучивания называется потерей устойчивости сжатым стержнем.
Сила, при которой происходит потеря устойчивости, называется критической силой и обозначается через кр.
Описанное явление с позиций теории устойчивости объясняется следующим образом: при < кр устойчивой является прямолинейная
форма стержня. Это означает, что если вывести стержень из положения равновесия, а затем освободить, он верн¼тся в устойчивую (прямолинейную) форму. При > кр прямолинейная форма становится
неустойчивой, а устойчивой становится криволинейная форма. Но, на практике, толчка (возмущения) делать не нужно, т. к. стержень не идеально прямой и силы приложены не точно по оси стержня, поэтому при = кр он сам выпучивается.
При расч¼те сжатых стержней необходимо рассматривать два усло-
âèÿ: 1) ≤ [ ] условие прочности;
2) ≤ |
кр |
преобразуем |
|
≤ |
кр |
, íî |
кр |
= кр |
||
кр |
|
|
· |
кр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
критическое напряжение, при которой стержень теряет устойчивость,кр = [ ]кр допускаемое напряжение на устойчивость или допуска-
кр
емое напряжение на продольный изгиб. Тогда ≤ [ ]кр условие устойчивости.
Таким образом, чтобы работа сжатого стержня была безопасной, должны быть выполнены два условия.
Для коротких стержней определяющим является первое условие, а для длинных второе. Чтобы не рассматривать границу между ними, необходимо пользоваться обоими условиями.
Чтобы воспользоваться условием устойчивости, нужно знать критическую силу. Как е¼ найти? Первые результаты в этой области были получены в середине XVIII века Л. Эйлером в период его работы в Петербургской академии наук (рис. 8.1.2).
Рис. 8.1.2. Решение задачи Эйлера
Эйлер рассматривал стержень длиной с шарнирно-закрепл¼нными концами. Сила настолько большая, что она удерживает стержень в
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
искривл¼нном состоянии, то есть она достигла кр.
Отметим прогиб стержня в произвольном сечении . Стержень
изогнут и находится в упругом состоянии, поэтому воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Обращаем внимание, что мы воспользуемся облегч¼нным дифференциальным уравне-
нием, поэтому рассматриваем только начало потери устойчивости.
· · ′′ = , ãäå = − кр · . Знак "минус так как изгибающий момент отрицательный, тогда · · ′′ = − кр · , преобразуем
′′ + 2 · = 0,
кр
ãäå 2 = · .
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно написать характеристическое уравнение и найти его корни. Решение этого уравнения ищем в тригонометрических функциях:
= · sin + · cos .
Определим постоянные интегрирования из граничных условий:
1) ïðè = 0 |
= 0, отсюда = 0 и |
= · sin ; |
||
2) ïðè = |
= 0, тогда |
·sin = 0. Но ̸= 0. Если предполо- |
||
жить, что = 0, то все прогибы будут равны нулю, т. е. выпучивания |
||||
не будет. |
|
= · , |
( = 0; ±1; ±2; . . . ); |
|
Таким образом, sin = 0 |
||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
кр |
2 |
2 |
|
|||
|
|
= |
|
· |
|
; подставим вместо |
|
|
|
|
|
|
|
= |
· |
|
, тогда |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
· |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр = 2 |
· |
2 |
· · |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
то есть имеет место целый ряд критических сил: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
= 0, |
кр(0) |
= 0 |
|
нулевого порядка; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= 1, |
кр(1) |
= |
|
2 · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
первого порядка; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= 2, |
кр(2) |
= |
|
4 · 2 · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
второго порядка и т.д. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Здесь модуль продольной упругости материала стержня, |
|||||||||||||||||||
момент инерции поперечного сечения стержня. Из формул видно, что выпучивание произойд¼т, прежде всего, в плосости наименьшей ж¼сткости.
Из этого ряда критических сил будет иметь место только наимень- шая критическая сила. кр(0) значения не имеет, поэтому
кр = 2 · · наим
2
формула Эйлера для критической силы.
Àкакие будут перемещения после выпучивания?
= · sin
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
уравнение изогнутой оси стержня половина волны синусоиды. Че- му равно наибольшее отклонение ? На этот вопрос ответить не пред-
ставляется возможным, так как использованы все граничные условия. Это расплата за линеаризацию дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. Чтобы найти прогибы, нужно использовать полное дифференциальное уравнение. Привед¼м график зависимомти максимальных перемещений в зависимости от силы, полученный в точном решении (В.И. Феодосьев)(рис. 8.1.3).
Рис. 8.1.3. Перемещения сжатого стержня
кр
Критическое напряжение кр = напряжение, при котором наблюдается выпучивание.
Подставим в эту формулу значение критической силы и учт¼м, что
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть