1 √
=2[( + ) + ( − )2 + 4 · 2].
Аналогично
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[( + ) − √( − )2 + 4 · 2]; |
|||||||
= = − = |
|
|||||||
2 |
||||||||
tg 0 = − |
|
= − |
|
|||||
|
|
. |
||||||
− |
− |
|||||||
При определении главных напряжений возможны три варианта:
1)> 0, > 0, тогда 1 = , 2 = , 3 = 0;
2)> 0, < 0, тогда 1 = , 2 = 0, 3 = ;
3)< 0, < 0, тогда 1 = 0, 2 = , 3 = .
4.5.Напряжения на произвольной площадке при объёмном напряжённом состоянии
Рассмотрим деталь произвольной формы, нагруженную уравновешенной системой сил, и точку детали, в которой имеет место объ¼м-
ное напряж¼нное состояние (рис. 4.5.1), òî åñòü 1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0. Изобразим элемент отдельно (рис. 4.5.2). Покажем произвольную площадку, проходящую через точку . Нормаль к площадке образует
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 4.5.1. Напряж¼нное состояние детали в точке
с главными напряжениями углы 1, 2, 3. Покажем напряжения на этой площадке , .
Задача сводится к следующей: известны 1, 2, 3, 1, 2, 3. Требуется определить: , .
Воспользуемся принципом суперпозиции, то есть представим напряжения на произвольной площадке как сумму напряжений от каждого главного напряжения в отдельности
= 1 + 2 + 3 , |
ãäå = · cos2 , |
тогда = 1 · cos2 1 + 2 · cos2 2 + 3 · cos2 3.
Касательные напряжения, вызванные каждым главным напряжением, по направлению не совпадают, поэтому необходимо рассматривать векторную сумму
= 1 + 2 + 3 .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 4.5.2. Определение напряжений на произвольных площадках при объ¼мном напряж¼нном состоянии
Модуль можно определить как
√
= 2 − 2 , ãäå 2 = 2 · cos2 1 + 2 · cos2 2 + 2 · cos2 3,
1 2 3
тогда
√
= 2 · cos2 1 + 2 · cos2 2 + 2 · cos2 3 − 2 .
1 2 3
Для определения направления в каждом случае необходимо рассматривать конкретную задачу.
Пример: определим напряжения на октаэдрической площадке, то есть на площадке, равнонаклон¼нной к главным 1 = 2 = 3 = окт
Из линейной алгебры известно, что cos2 1 + cos2 2 + cos2 3 = 1, откуда cos2 окт = 13.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
После подстановки и вычислений получаем
|
|
|
|
окт = |
1 |
· ( 1 + 2 + 3); |
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
окт = |
|
· √ 12 + 22 |
+ 32 − 1 · 2 − 2 · 3 − 3 · 1 |
||||
|
|
||||||
3 |
|
||||||
4.6.Круги при Мора объёмном напряжённом состоянии
Для объ¼много напряж¼нного состояния можно также изобразить круг Мора.
Изобразим элемент, испытывающий объ¼мное напряж¼нное состояние, грани которого являются главными площадками. Вначале рассмотрим наклонные площадки, параллельные 1, òî åñòü cos 1 = 0 (ðèñ. 4.6.1, а). Для таких площадок = 2 cos2 2 + 3 cos2 3. Ó÷ò¼ì, ÷òî 2 + 3 = 90 , тогда cos 3 = sin 2 è
= 2 cos2 2 + 3 sin2 2
это известная формула для плоского напряж¼нного состояния, геометрической интерпретацией которого будет круг Мора между 2 è
3.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Аналогично рассматривая площадки, параллельные 2 è 3, ïîëó- чим ещ¼ два круга Мора (рис. 4.6.1, á).
Рис. 4.6.1. Графическое определение напряжений при объ¼мном напряж¼нном состоянии
Итак, наклонным площадкам, параллельным одному из главных напряжений, соответствуют точки на одной из окружностей. Но есть площадки, не параллельные ни одному из главных напряжений. Этим площадкам соответствуют точки в заштрихованной области. Будем рассматривать только верхнюю часть, т.к. не оговорено направление
касательных напряжений. |
|
|||
|
Проанализируем пределы изменения напряжений: наиб = 1 |
; наим = |
||
3 |
; наиб = |
1 − 3 |
. |
|
|
2 |
|
|
|
Следовательно, в случае объ¼много напряж¼нного состояния наибольшие касательные напряжения равны полуразности крайних глав-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть