Следует обратить внимание на то, что вид эпюры нормальных напряжений не зависит от формы поперечного сечения.
6.7.2.Касательные напряжения в балке при изгибе. Формула Журавского
Изобразим балку, испытывающую поперечный изгиб (рис. 6.7.7). Тремя плоскостями вырежем заштрихованный элемент и изобразим его отдельно. Покажем напряжения в точке, лежащей на ребре. Здесь есть и нормальные и касательные напряжения. Направление каса-
тельных напряжений покажем в соответствии с положительной поперечной силой.
Рис. 6.7.7. Напряжения в балке при поперечном изгибе
В элементарной теории изгиба считается, что, во-первых, касательные напряжения по ширине сечения не изменяются и, во-вторых, что
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
касательные напряжения в сечении имеют только вертикальную составляющую, параллельную плоскости изгиба = ( , ). Эти допу-
щения не являются точными.
В точке , но в продольном сечении, действуют такие же каса-
тельные напряжения в соответствии с законом парности касательных напряжений. Нормальных напряжений в продольном сечении нет, так как давлением между слоями можно пренебречь. Если рассматривать второй торец элемента, то там тоже будут и нормальные и касательные напряжения.
Покажем элемент ещ¼ раз, но по граням покажем равнодействующие сил (рис. 6.7.8). Силы приводятся к равнодействующим так, чтобы главный момент был равен нулю. Верхняя грань бесконечно мала, поэтому равнодействующая равна . Балка находится в равновессии,
поэтому и элемент должен находиться в равновесии, тогда
Рис. 6.7.8. Равнодействующие внутренних сил
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
∑
= − − + + = 0, отсюда = . Далее и
нужно выразить через напряжения.
= · ( )· обращаем внимание, что касательные напряжения
берутся с горизонтальной грани.
Найд¼м нормальную силу , действующую на площади отсеч¼нной части
|
|
|
|
∫ |
, ãäå |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
элементарная сила, |
отс площадь |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· , тогда = ∫отс |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||||||
отсеч¼нной части сечения. Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
è· |
íàéä¼ì |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
отс, ãäå отс = |
|
|
. Продифференцируем выражение для |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
· отс |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь подставим значения и в уравнение равновессия |
||||||||||||||||||||
|
|
|
· |
( ) |
· |
= |
· отс |
, ó÷ò¼ì, ÷òî |
|
|
= , и получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= · отс· ( )
формула Журавского для касательных напряжений в поперечном се- чении балки. Такие же напряжения будут действовать и в продольном сечении. В формуле Журавского:
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
поперечная сила в том сечении, в котором определяются каса-
тельные напряжения;отс статический момент части сечения, расположенного выше
или ниже точки, в которой определяется , относительно нейтральной
оси сечения;момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси;
( ) ширина сечения на уровне точки, в которой определяется .
Принято вычислять касательные напряжения по абсолютной вели- чине, то есть в формуле используется абсолютная величина и отс, а направление совпадает с направлением поперечной силы.
Докажем, что при вычислении отс можно брать и верхнюю, и ниж- нюю части сечения (рис. 6.7.9).
Рис. 6.7.9. Статические моменты верхней и нижней частей сечения
= в + н = 0 |
в = − н |
| в |=| н |. |
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Примеры: 1. Касательные напряжения в балке прямоугольного поперечного сечения (рис. 6.7.10).
Рис. 6.7.10. Прямоугольное сечение
Определим величины, входящие в формулу Журавского. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
отс = |
|
( |
|
|
) |
|
1 |
( |
|
+ ) = |
|
( |
2 |
|
2) = |
· 2 |
|
[1 |
|
( |
2 · |
)2 |
], |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
· |
2 |
|
− |
· |
2 · |
|
2 · |
4 − |
|
· |
− |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
· 3 |
, |
|
|
|
( ) = . Подставим эти значения в формулу Жу- |
||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равского, произвед¼м сокращения и учитывая, что · = , получим
= |
· · 2 |
· |
[1 |
− |
( |
2 · |
)2 |
] = |
3 · |
· |
[1 |
− |
( |
2 · |
)2 |
] |
||
8 |
· |
· 2 |
· |
|
|
|
|
2 · |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
формула для касательных напряжений при изгибе в балке прямоугольного поперечного сечения.
Изобразим эпюру касательных напряжений по высоте сечения (рис.
6.7.11). Из полученной формулы видно, что при = ± |
|
= 0. Ýòî |
|
|
|
||
2 |
|
||
можно установить и без формулы, по закону парности касательных напряжений, так как внешние поверхности не нагружены.
Рис. 6.7.11. Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения
Необходимо обратить внимание на то, что касательные напряжения по высоте распределены неравномерно. Наибольшие касательные напряжения действуют в точках на нейтральной оси и равны наиб = 3 ·
2 · .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
2. Касательные напряжения в балке круглого поперечного сечения |
|
||
Домашняя |
|||
(без вывода) (рис. 6.7.12). |
|
||
|
|
||
|
|
||
JJ |
II |
|
|
J |
I |
Назад
На весь экран
Рис. 6.7.12. Распределение касательных напряжений по высоте круглого сечения
4 ·
В этом случае наиб = 3 · это меньше, чем в прямоугольном сечении.
3. Касательные напряжения в балке двутаврового сечения (рис. 6.7.13).
Построим эпюру касательных напряжений по высоте сечения без чисел, рассуждая по формуле Журавского. Пусть точка, в которой определяется , перемещается от верхних волокон к нижним. В преде-
лах полки быстро возрастает статический момент отс и практически не меняется ширина сечения ( ). По высоте стенки медленно возраста-
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Рис. 6.7.13. Распределение касательных напряжений по высоте двутавра
ет (до нейтральной оси) отс и не меняется ( ), а на границе полки со стенкой резко уменьшается ( ) (на эпюре скачок). Ниже нейтраль-
ной оси эпюра симметрична с верхней частью. Наибольшие касательные напряжения и в этом случае действуют в точках на нейтральной оси.
Выводы: 1. Наибольшие касательные напряжения для симметрич- ных сечений действуют в точках на нейтральной оси.
2. Вид эпюры касательных напряжений существенно зависит от формы поперечного сечения, в то время как вид эпюры нормальных напряжений не зависят от формы сечения.
Назад
На весь экран
Закрыть