6.10. Перемещения балок при изгибе |
Домашняя |
|
6.10.1. Прогиб и поворот поперечного сечения бал- |
|
|
|
||
JJ |
|
II |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ки |
|
J |
|
I |
|
Рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной си- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лой. Ось направим вверх, т. к. необходимо получить основные фор- |
|
|
|
Назад |
|
мулы со знаком "плюс"(рис. 6.10.1). |
|
|
|
|
|
|
На весь экран |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.10.1. Перемещения в балке
Строго говоря, силу нужно приложить к изогнутой балке.
Горизонтальные перемещения намного меньше вертикальных, поэтому их не рассматриваем. Перемещения балки:
Закрыть
прогиб балки в рассматриваемом сечении это вертикальное
перемещение центра тяжести поперечного сечения; после изгиба поперечное сечение оста¼тся плоским и перпендикулярным оси балки;
угол поворота поперечного сечения балки или поворот попереч-
ного сечения.
Зная и , можно определить положение любой точки балки. Пусть( ) уравнение изогнутой оси балки или уравнение упругой линии балки. Покажем угол ( ), на который поверн¼тся данное сечение балки. Далее угол, образованный касательной к изогнутой оси и гори-
зонталью, тоже равен углу ( ) (рис. 6.10.2). Следовательно, |
|
= |
||
|
||||
tg , íî |
|
|
||
tg ≈ , так как угол весьма мал. Деформации балки |
||||
весьма малы даже при напряжениях, равных допускаемым, поэтому
= .
Правило знаков для : если > 0, тогда > 0 (случай, показанный на рисунке 6.10.2), то сечение поворачивается против часовой стрелки.
А если < 0, то по ходу часовой стрелки. Это правило справедливо для случая, когда ось направлена слева направо. Если изменить направление оси , то изменится и правило знаков на противоположное.
Правило знаков для прогибов: если > 0, то прогиб происходит
вверх, а если < 0, то прогиб происходит вниз. Знак прогиба не зависит
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 6.10.2. Связь между углом поворота и производной
от направления оси .
6.10.2.Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Запишем формулу для кривизны балки, которая была получена при выводе формулы для нормальных напряжений
1 = · . (1)
Закрыть
Эта формула получена для чистого изгиба, когда отсутствует попереч- ная сила. Что может изменить ? Она несколько изменяет прогибы
и, следовательно, кривизну, но поправка, которую вносит поперечная сила, невелика и ею пренебрегают. Поэтому формулу (1) можно применять и при поперечном изгибе. Она является практически точной (теоретически нет).
Рассмотрим любое сечение балки и элемент длиной . Из алгебры известно, что элемент можно считать элементом окружности.центр кривизны изогнутой оси балки в сечении . С помощью фор-
мулы (1) кривизна выражается через внешние силы, упругие свойства материала, размеры и форму поперечного сечения балки (рис. 6.10.3).
Рис. 6.10.3. Перемещения в консольной балке
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Кривизну можно выразить и через уравнение изогнутой оси балки. Из алгебры известно
1 |
|
|
′′ |
|
|
|
|
= |
|
. |
(2) |
|
[1 + ( ′)2]23 |
||||
Чтобы приравнять правые части формул (1) и (2),необходимо вы-
яснить, будут ли они с одинаковым знаком.
Формула (1): балка изгибается выпуклостью вниз, поэтому 1 > 0, так как > 0; формула (2): 1 > 0, òàê êàê ′′ > 0, то есть эти формулы дают кривизну с одинаковым знаком. Теперь можно приравнять правые части формул
′′ |
= |
|
[1 + ( ′)2]23 |
· |
полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Здесь исключ¼н индекс у , т. к. в дальнейшем будем считать, что это мо-
мент инерции сечения относительно нейтральной оси, а индекс писать не будем.
Это нелинейное дифференциальное уравнение, которое можно решить на компьютере. Однако, в этом нет необходимости, так как уравнение можно упростить.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Поскольку ′ = << 1, à ( ′)2 <<< 1, то можно записать 1−( ′)2 ≈ 1. Умножим обе части равенства на · и получим
· · ′′ = ( )
облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (не приближ¼нное). Это уже простое уравнение, которое легко решается.
Проинтегрируем это уравнение
· · ′ = · · = ∫ |
( ) + |
||
уравнение для углов поворота сечений. |
|
||
Проинтегрируем уравнение ещ¼ раз |
|
||
· · = ∫ |
∫ |
( ) + · + |
|
уравнение для прогибов. В этих уравнениях и постоянные
интегрирования, |
определяемые из граничных условий. |
|
Размерности: |
произведение силы на длину в квадрате, |
|
произведение силы на длину в кубе.
Замечание: Полученные формулы для и справедливы при ( ′)2 << 1. По ним нельзя определять перемещения гибких балок
здесь нужно использовать полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 6.10.4. Определение перемещений
Пример (рис. 6.10.4). Для заданной балки определить прогиб и угол поворота сечения в концевом сечении консоли .
= · ( − ), тогда
· · ′′ = · ( − ),
· · ′ = · ( · − 2 ) + ,
2
· · = · ( · 2 − 3 ) + · + .
2 6
Из граничных условий определяем постоянные интегрирования:
1) ïðè = 0 |
|
= 0 |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||||
2)ïðè = 0 |
|
= 0 |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
· |
( |
· |
|
− |
|
2 |
), |
ïðè = |
|
|
= |
· 2 |
. |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
· |
|
|
|
|
|
|
2 · · |
|||||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Знак плюс следовательно поворот сечения происходит против часовой стрелки.
= |
|
|
( |
· 2 |
3 |
), |
ïðè = |
|
|
= |
· 3 |
. |
· |
· |
2 − |
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 · · |
||||||
Знак плюс следовательно прогиб происходит вверх. Конкретизируем этот пример: для заданной стальной балки подо-
брать двутавровое сечение и определить прогиб и угол поворота сече- ния , если = 20 кН, = 2 м, [ ] = 160 МПа, = 2 · 105 ÌÏà.
Наиболее опасным является сечение (заделка) | |наиб= · =
20 · 2 = 40 |
|
наиб |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
êÍì. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
≥ |
| | |
|
|
|
|
= |
40 · 10 |
= 2, 5 |
· |
10−4ì3 = 250ñì3. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
[ ] |
160 · 106 |
|
|
|
ñì3 |
, |
|
ñì4. |
|
|||||||||
|
Выбираем двутавр 22а: = 254 |
|
= 2790 |
|
|||||||||||||||||||
|
Теперь определяем перемещения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= |
|
|
· 2 |
|
|
= |
20 · 103 · 22 |
10−8 |
= 7, 168 |
· |
10−3 ðàä |
= 0, 411 . |
|||||||||
|
|
|
|
2 · 2 · 1011 · 2790 · |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 · · |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
· 3 |
|
= |
|
20 · 103 · 23 |
|
|
= 7, 168 |
· |
10−3 ì = 7, 168 ìì. |
|||||||||
|
|
|
|
|
3 · 2 · 1011 · 2790 · 10−8 |
||||||||||||||||||
|
|
3 |
· · |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из данного примера видно, что
( ′)2 = (7, 168 · 10−3)2 = 5, 135 · 10−5 <<< 1.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть