5.8.Эллипс инерции
Введ¼м новое понятие понятие о радиусе инерции сечения. Изобразим произвольное сечение и любую ось (рис. 5.8.1).
Рис. 5.8.1. Определение радиуса инерции относительно произвольной оси
= |
√ |
|
|
− радиус инерции сечения относително оси |
. |
|
|
|
|
|
|
Отсюда = 2 · . Эта формула для определения не использу- ется, но ряд формул сопротивления материалов, где сокращается площадь, можно записать проще.
Запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
√ 0 |
, |
0 |
= |
√ 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
главные радиусы инерции сечения или радиусы инерции сечения относително главных осей.
Эллипсом инерции называется эллипс, имеющий следующее уравнение в главных осях (рис. 5.8.2):
02 |
+ |
02 |
= 1. |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|||
0 |
|
0 |
|
.
Рис. 5.8.2. Эллипс инерции
Полуосями эллипса инерции являются главные радиусы инерции сечения, но они поменялись местами. Изобразим эллипс инерции для заданного сечения.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Об одном свойстве эллипса инерции. Провед¼м произвольную осьи касательную к эллипсу инерции, параллельную оси . Оказывает-
ся, что расстояние между касательной и осью есть радиус инерции
относительно оси , тогда = 2 · .
При решении практических задач этим способом определения моментов инерции не пользуются, так как он приближ¼нный. Для этого нужно построить эллипс инерции и замерить . Однако эллипс инер- ции применяют для приближ¼нного контроля результатов определения главных центральных моментов инерции сечения и положения главных центральных осей. Покажем это на примере поперечного сечения
ââèäå -образного профиля.
1)Эллипс должен быть вытянут вдоль сечения (рис. 5.8.3).
Рис. 5.8.3. Направление эллипса инерции сечения
Почему это так? Потому, что одна из главных осей должна быть расположена вдоль сечения, только в этом случае = 0.
2) Эллипс инерции не может быть больше сечения. В одну сторону он может выйти за контур сечения, тогда в другую нет. Эллипс
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
инерции также не может быть намного меньше сечения (рис. 5.8.4).
Рис. 5.8.4. Размеры эллипса инерции сечения
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
Почему это так? С одной стороны 0 |
= |
02 , а с другой 0 = |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
· |
. Следовательно |
0 |
|
среднеквадратичная величина из ординат |
|||
0 |
|
|
|
|
|
||
сечения, тогда 0 <| 0 |наиб, поэтому в обе стороны эллипс инерции не может выходить за сечение. Радиус инерции 0 не может также быть значительно меньше среднеквадратичной величины 0.
5.9.Определение моментов инерции сложных сечений
Довольно часто детали, испытывающие изгиб, имеют сложное поперечное сечение. Чтобы рассчитать брус на изгиб, нужно знать положение главных центральных осей и главные центральные моменты инерции сечения.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рассмотрим произвольное сечение, которое разбиваем на простые,
определяем площади и моменты инерции составных частей относитель-
но собственных центральных осей ( , , , ) (рис. 5.9.1).
Рис. 5.9.1. Определение моментов инерции сложных сечений
По формуле Вариньона определяем положение центра тяжести всего сечения относительно произвольных осей ,
= |
∑ · |
|
, |
= |
∑ · |
|
, |
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
ãäå , - координаты центров тяжести составных частей.
Далее проводим центральные оси , , их нужно направить парал-
лельно выбранным осям для составных частей.
Определяем моменты инерции всего сечения относительно централь-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
íûõ îñåé ,
= ∫ |
2 = |
∫ |
2 = |
|
, |
|
|
∑ |
|
∑ |
|
íî = + 2 · формула перехода от центральных осей. Используя такие же формулы для других моментов инерции, полу-
÷èì |
|
∑ |
|
2 |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
( |
+ 2 |
|
), |
|
|
Здесь расстояния |
= ∑( |
+ · ), |
между осями и . |
|||||
∑ |
|
è |
, à |
|||||
|
= |
( |
+ |
· |
· |
). |
||
между осями
Далее, зная моменты инерции сечения относительно центральных осей , , определяем главные центральные моменты инерции и поло-
жение главных центральных осей
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
= |
[( + ) + |
√( − )2 + 4 · 2 ], |
||||
|
|||||||
2 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
= |
[( + ) − |
√( − )2 + 4 · 2 ], |
||||
|
|||||||
2 |
|||||||
tg 0 = − |
|
|
|
. |
|
− 0 |
||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Зная эти характеристики сечения, можно определить напряжения и перемещения балки при изгибе.
Пример: определить значение и знак угла поворота в зависимости
от положения неравнополочного уголка Задано: , , 0 (в таблицах ГОСТа , т (ðèñ. 5.9.2, 1).
Рис. 5.9.2. Определение величины и знака угла поворота
Необходимо определить , 0( 0). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя формулы |
|
= |
0 − 0 |
sin 2 ; |
|
0 |
= |
|
+ |
− |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
0 . определяем значение и знак угла 0( 0). Решения показаны на рисунке 5.9.2, 2-8.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть