Рис. 5.2.4. Треугольник
5.2.5.Прокатные профили
Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) значения моментов инерции приведены в таблицах ГОСТа.
5.3.Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одни из которых центральные
Центральные оси это оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения: , центральные оси; 1, 1 произвольные оси, параллельные центральным осям , . Выделим элементарную площад-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
ку . Покажем е¼ координаты в двух системах осей: 1 = + , |
1 = |
|
+ , где , координаты центра тяжести сечения в осях |
1, 1 (ðèñ. |
|
5.3.1). Тогда |
|
|
Рис. 5.3.1. Поперечное сечение бруса
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 = 12 = ( + )2 = 2 +2· + 2 = + 2· ,
∫
= = 0, статический момент площади сечения относительно
центральной оси . Аналогично находится 1 , следовательно
1 = + 2 · ; |
1 = + 2 · . |
Таким образом, осевой момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.
Следствие: если рассматривать множество параллельных осей, то
наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси. Центробежный момент инерции сечения
|
1 1 = ∫ |
1 · 1 = ∫ ( + ) · ( + ) = |
|
= ∫ |
· + ∫ |
+ ∫ |
+ · · = + · · . |
Следовательно, центробежный момент инерции относительно произвольных осей равен центробежному моменту инерции относительно параллельных им и также направленных центральных осей плюс произведение площади сечения на координаты центра тяжести в той системе осей, к которой осуществлён переход .
5.4.Главные оси инерции и главные момен-
ты инерции сечения
Изобразим поперечное сечение бруса и произвольные оси , . Выделим элементарную площадку (рис. 5.4.1, а) с координатами , .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
Рис. 5.4.1. Схема поворота координатных осей
На весь экран
Поверн¼м оси на 90 , например, против часовой стрелки (рис. 5.4.1, б). Запишем зависимость между координатами 1 = − ; 1 = .
Вычислим центробежные моменты инерции сечения в осях , и1, 1,:
= ∫ · ; |
1 1 = ∫ 1 · 1 = ∫ · (− ) = − . |
Следовательно, при повороте осей на 90 центробежный момент
инерции сечения меняет знак на обратный.
Представим графически изменение центробежного момента инерции в зависимости от угла (рис. 5.4.2). Эта функция непрерывная
(разрывов нет). Если повернуть оси на угол 0, то попад¼м на оси, относительно которых = 0.
Закрыть
Домашняя
JJ |
II |
|
|
J |
I |
Назад
Рис. 5.4.2. График изменения при повороте осей
На весь экран
Итак, для любого начала координат имеется хотя бы одна пара осей, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения, а моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции сечения (ðèñ. 5.4.3).
Обозначим через 0, 0 главные оси; 0 , 0 инерции сечения, прич¼м 0 ≥ 0 . Для каждого начала координат свои главные оси.
Какое значение имеют главные оси? Оказывается, что в главных осях формулы для изгиба являются наиболее простыми. Как отыскать положение главных осей?
Рассмотрим сечение, имеющее ось симметрии (рис. 5.4.4). Если се- чение имеет ось симметрии , то она является одной из главных осей.
Закрыть
Рис. 5.4.3. Главные оси
Другая главная ось перпендикулярна ей. Докажем это, для чего выделим элементарные площадки 1 = 2, симметричные относитель- но оси , и вычислим центробежный момент инерции сечения: 1 =
− 2; |
1 = 2; |
1 = 2, |
(− ) · 1 + ∫ |
|
|
|
= ∫ |
· = ∫ |
· 2 = 0, |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть