5.6.Определение главных моментов и положения главных осей инерции сечения

Такая задача решается при расч¼те бруса на изгиб. Выше было рассмотрено решение прbменительно к симметричному сечению, а теперь привед¼м решение для произвольного сечения (рис. 5.6.1).

Рис. 5.6.1. Определение главных моментов инерции и положения главных осей

Известны , , . Эти характеристики можно определить численным методом, разбив сечение на отдельные части, или разбив слож-

ное сечение на простые составляющие. Требуется определить 0 , 0 , 0( 0 0).

Рассмотрим произвольное сечение и произвольные оси , . Главные оси, которые следует найти, покажем штриховой линией.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Сравниваем эти формулы они аналогичны. Из формул для напряжений можно получить формулы для моментов инерции, если заменить: на , на , на , на 0 , íà 0 .

По аналогии получим следующие формулы:

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Таким образом поставленная задача решена. Из полученных формул следует замечательное свойство главных моментов инерции: один из них является наибольшим, а другой наименьшим, если рассмат-

ривать множество осей, проходящих через заданное начало координат (в арифметическом смысле).

5.7.Исследование моментов инерции графическим способом

Так как между напряжениями и моментами инерции существует аналогия, то для определения моментов инерции можно использовать круги Мора.

Рассмотрим решение обратной задачи. Доказательство правомочно-

сти действий можно провести аналогично определению напряжений. Известно: , , . Нужно определить 0 , 0 , 0( 0). Изобра-

зим горизонтальную , и вертикальную оси. Необходимо обра- тить внимание на то, что ось , не имеет отрицательных значений. Покажем произвольное сечение с осями , (рис. 5.7.1).

Строим точки ( , ) и ( , − ). Четв¼ртой величины в моментах инерции нет, но учт¼м, что = − . Пусть > ; это условие необязательно, но для выбранного сечения это так. В рассматриваемом случае также > 0. Далее соединяем точки , и получаем центр

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Рис. 5.7.1. Круг Мора для определения моментов инерции

окружности . Зная центр и радиус = проводим круг Мора для моментов инерции и определяем

Далее нужно определить угол 0. Строим точку ′ , симметричную точке относительно оси абсцисс. Из точки через точку ′ прово-

дим луч . Это и есть направление оси 0, относительно которой момент

инерции будет наибольшим.

Прямую задачу проработать самостоятельно. Дано 0 , 0 , ( 0 ). Требуется определить , , .

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран