Глава 2
Центральное растяжение и сжатие
2.1.Напряжения при центральном растяжении и сжатии
Прямой брус испытывает центральное растяжение или сжатие, если он нагружен силами, приложенными вдоль его оси .
Изобразим брус, испытывающий центральное растяжение (рис 2.1.1,
à).
Применим метод сечений: рассекаем брус плоскостью − , перпен-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 2.1.1. Нормальные силы в брусе при центральном растяжении
дикулярной оси бруса (рис 2.1.1, б). Вначале отбросим нижнюю часть. Привед¼м внутренние силы к центру тяжести поперечного сечения.
Получим только силу , пары сил нет, так как нет внешних сил, вы-
зывающих эту пару.
нормальная (продольная) сила; величина алгебраическая
(может быть как положительной, так и отрицательной). При растяжении > 0, при сжатии < 0.
Составим уравнение статики: ∑ = 0 : − = 0 = . К такому же результату прид¼м, если будем рассматривать равновесие нижней части бруса (рис 2.1.1, â).
Закрыть
Таким образом, нормальная сила в любом поперечном сечении бруса равна сумме проекций на нормаль к этому сечению внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения .
График изменения нормальной силы по длине бруса называется эпюрой нормальных сил. Изобразим эпюру нормальных сил (рис 2.1.1,
ã).
Теперь необходимо определить напряжения. Задача по определению напряжений является статически неопределимой и для е¼ решения следует установить закономерность деформаций.
При центральном растяжении или сжатии справедлива гипотеза плоских сечений, при этом ось бруса не искривляется. Поэтому любые волокна, находящиеся между двумя поперечными сечениями, удлиняются на одну и ту же величину. Следовательно, деформации по сече- нию одинаковы и поэтому напряжения распределены по сечению рав-
номерно, то есть
= ,
где площадь поперечного сечения (конечная, но она мало отли- чается от начальной). При растяжении > 0, при сжатии <
0.
В соответстии с гипотезой Сен-Венана полученная формула справедлива на некотором расстоянии от точки приложения силы.
Касательные напряжения (в поперечном сечении) равны нулю, т.к.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
нет сдвига. А в наклонных сечениях бруса есть и нормальные и касательные напряжения. В продольном сечении нет ни нормальных, ни касательныех напряжений.
2.2.Продольная деформация бруса при центральном растяжении и сжатии. Закон
Гука
Изобразим брус до и после нагружения (рис. 2.2.1, à, á), ãäå
абсолютная деформация (абсолютное удлинение) бруса. При растяжении > 0, при сжатии < 0.
Рассмотрим отношение |
|
= относительная продольная де- |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
> 0, при сжатии < 0. |
|
|
|
||
формация: при растяжении |
|
|
|
||||||
Деформация связана с напряжениями экспериментально получен- |
|||||||||
ной зависимостью: |
|
|
|
|
|
|
5 ÌÏà. |
||
= · |
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
закон Гука, где |
|
модуль продольной упругости. Для |
||||||
стали = 2 · 10 МПа, для алюминиевых сплавов = 0, 7 · 10 |
|
|
|||||||
Запишем закон Гука в другом виде: так как = |
|
, |
= |
|
, òî |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
·
= · закон Гука, записанный через действующую силу и размеры бруса, где · ж¼сткость бруса при центральном растяжении
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 2.2.1. Продольная деформация бруса
и сжатии.
Запишем закон Гука в общем случае нагружения бруса, когда нормальная сила изменяется по его длине. Выделим из бруса элемент длиной и покажем его отдельно (рис. 2.2.1, в). Удлинение элемента
определяется по формуле ( ) = |
( ) · |
, интегрируя, получим |
||||
· |
||||||
|
· |
· |
|
|
||
= ∫0 |
закон Гука в общем случае нагружения бруса. |
|||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
Закрыть
2.3.Поперечная деформация бруса при центральном растяжении и сжатии. Закон
Пуассона
Изобразим брус до и после нагружения (рис. 2.3.1, à, á), àá-
солютная поперечная деформация: при сжатии > 0, при растя-
жении < 0. Отношение = поп относительная поперечная деформация.
Рис. 2.3.1. Поперечная деформация бруса
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть