наим |
= наим2 |
. Обозначим |
|
|
= гибкость стержня и получим |
|||
|
|
наим |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
кр = |
2 · · наим |
= |
2 · |
. |
||
|
|
|
|
|
2 · |
|
2 |
|
Чем больше гибкость, тем меньше критическое напряжение, тем меньшим усилием можно вывести стержень из положения равновесия.
кр = 2 ·2
формула Эйлера для критического напряжения.
8.2.Влияние способа закрепления стержня на критическую силу
Рассмотрим несколько случаев закрепления стержня.
1) Шарнирный случай закрепления называется основным или слу- чаем Эйлера (см. рис. 8.1.1).
кр = 2 · · наим .
2
2) Стержень ж¼стко защемл¼н одним концом (рис. 8.2.1).
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.1. Стержень с защемл¼нным концом
Какой будет формула для критической силы в этом случае? Нужно взять дифференциальное уравнение и удовлетворить новым гранич- ным условиям.
Однако, есть другой путь: продолжив стержень вниз на , видим, что формулу Эйлера можно применить для стержня длиной 2 , тогда
кр = 2 · · наим .
(2 · )2
Здесь кр в четыре раза меньше, чем в основном случае, следовательно
и грузоподъ¼мность стержня в четыре раза меньше, то есть это очень невыгодный случай закрепления.
Закрыть
3) Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами |
|
||
Домашняя |
|||
(ðèñ. 8.2.2). |
|
||
|
|
||
|
|
||
JJ |
II |
|
|
J |
I |
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.2. Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами
Как найти кр в этом случае? Можно взять дифференциальное
уравнение и удовлетворить новым граничным условиям. Но можно воспользоваться одним результатом, следующим из решения Эйлера.
Отметим на изогнутой оси стержня две точки перегиба. В этих точ- ках кривизна равна нулю, следовательно, и изгибающий момент равен
1
íóëþ, òàê êàê = · .
В точках перегиба связь, с помощью которой переда¼тся изгибающий момент, не используется, следовательно, в этих точках можно
Закрыть
поставить идеальные шарниры ничего не изменится.
Видно, что часть рассматриваемого стержня длиной /2 находится в таких же условиях, как и в случае Эйлера, тогда
2 · · наим
кр = (0, 5 · )2 .
Здесь кр в четыре раза больше, чем в основном случае, то есть это
очень выгодное условие закрепления, существенно более экономичное, но формула будет справедлива, если по концам абсолютно ж¼сткое закрепление, а так бывает далеко не всегда. Как правило, закрепление бывает податливым, поэтому формулой Эйлера следует пользоваться осторожно.
4) Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами (рис. 8.2.3). Если решать эту задачу подробно, то окажется, что точка перегиба
находится на расстоянии 0, 7 · от шарнирной опоры. Рассматривая этот случай аналогично предыдущему, получим
2 · · наим
кр = (0, 7 · )2 ,
òî åñòü кр в этом случае в два раза больше, чем при шарнирном за-
креплении.
Анализируя полученные зависимости, русский инженер Ф.С. Ясин-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.3. Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами
ский предложил общую формулу для любого случая закрепления
кр = 2 · · наим
( · )2
формула Ясинского. Здесь коэффициент приведения длины, ука-
зывающий, на какой длине данного стержня реализуется схема Эйлера,· привед¼нная длина.
Тогда: |
|
|
1) |
два шарнирно закрепл¼нных конца = 1; |
|
2) |
один защемл¼нный конец |
= 2; |
3) |
два защемл¼нных конца |
= 0,5; |
4) |
защемл¼нный и шарнирный концы = 0,7. |
|
Закрыть
Формула Ясинского широко применяется для расч¼та критических сил. В справочниках приводятся значения для различных способов
закрепления, промежуточных опор, стержней переменного сечения и т.д.
8.3.Пределы применимости формулы Эйлера. Полный график критических на-
пряжений
Запишем формулу Эйлера для критических напряжений: кр =
2 · |
|
= |
· |
. |
|
|
|||||
2 |
, ãäå |
min |
|||
|
|
Эту формулу широко применяли мостостроители, но бывали слу- чаи, когда вс¼ - таки стержни выходили из строя и мосты разрушались. Тогда формулу Эйлера отбросили, заменив массой эмпирических формул. Затем формула Эйлера была реабилитирована. Оказалось, что у ней есть пределы применимости.
При выводе формулы Эйлера использовалось облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки · · ′′ = ( ), которое
справедливо только для линейно упругих систем, то есть когда справедлив закон Гука ( ≤ п).
Следовательно, условие применимости формулы Эйлера: кр ≤ п
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
èëè |
2 · |
≤ |
п. Разрешим относительно |
||||
2 |
|||||||
|
≥ √ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= пред, |
||
|
|
|
2 · |
|
|||
|
|
|
п |
||||
формулу Эйлера можно применять только для достаточно длинных стержней, у которых ≥ пред. Какие же это стержни?
Рассмотрим пример стержень из стали 20: п = 200 ÌÏà, пред =
√ |
|
·п |
|
= |
√ |
|
2 |
·200· |
105 |
|
= 100. Итак для сжатого стержня из стали 20 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
формулу Эйлера можно применять, если ≥ 100. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Конкретизируем пусть шарнирно оп¼ртый сòåðæåíü имеет круã- |
||||||||||||||||||||||||||
лое поперечное сечение. В этом случае = √ |
|
= √ |
64 |
· |
|
· 2 = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
4 · |
|
≥ |
|
|
|
≥ |
|
· |
|
|
|
|
· |
|
· |
|
|||||
|
; = |
= |
|
100, отсюда |
25 |
только в этом случае для |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
стержней из стали 20 можно применять формулу Эйлера (рис. 8.3.1).
Для деталей машин это условие выполняется редко, чаще оказывается < пред, тогда кр < 2 ·
2 , поэтому были случаи разрушения. Полный график критических напряжений
С точки зрения потери устойчивости все сжатые стержни делятся на три группы:
1 группа. Стержни большой гибкости
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 8.3.1. Стержень круглого сечения с шарнирными опорами
К ним относятся стержни, для которых ≥ пред. При сжатии они
выпучиваются, теряют устойчивость и критическое напряжение вы- числяется по формуле Эйлера: кр = 2 ·
2 . Для стержней из стали 20
это стержни у которых ≥ 100.
2 группа. Стержни средней гибкости.
К ним относятся стержни, для которых гр ≤ < пред, ãäå гр
нижняя граница стержней средней гибкости, зависящая от материала стержня. Для стержней из стали 20 гр = 40.
Стержни средней гибкости выпучиваются достаточно большими силами, но кр < 2 ·
2 , так как потеря устойчивости происходит при упруго-пластическом изгибе (в крайних волокнах происходят пласти-
ческие деформации). Чаще всего гр è кр определяются опытным пу-
т¼м, но в последнее время появились и аналитические методы. 3 группа. Стержни малой гибкости
К ним относятся стержни, для которых < гр. Для стержней из
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
стали 20 это стержни, для которых < 40. При сжатии стержня выпу-
чивания не наблюдается, но при напряжениях, равных пределу теку- чести (пластичные материалы) или пределу прочности (хрупкие материалы) наблюдаются явления, формально похожие на потерю устой- чивости внезапное нарастание деформаций. В этом случае кр = т
èëè кр = в, хотя никакого выпучивания и не происходит.
Полный график критических напряжений рассмотрим на примере стержней из стали 20, у которой п = 200 ÌÏà, т = 240 МПа, граница
стержней малой гибкости = 40, граница стержней средней гибкости= 100 (рис. 8.3.2).
Рис. 8.3.2. Полный график критических напряжений для стержней из стали 20
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Для стержней с гибкостью 100 кр = 200 МПа. С ростом гибкости
критическое напряжение уменьшается.
Для стержней малой гибкости кр = т = 240 ÌÏà.
Для стержней средней гибкости зависимость критического напряжения от гибкости определяются экспериментально или теоретически (В.И. Феодосьев). График зависимости почти прямая.
Этот график для всего диапазона стержней называется полным графиком критических напряжений.
Если значение критического напряжения ( кр) взято с полного гра-
фика, то здесь учитывается не только потеря устойчивости как тако-
вая, но и опасные состояния для стержня любой длины. Поэтому, если при вычислении [ ]кр = кркр , кр взято с полного графика, то расч¼т
нужно провести только по устойчивости: ≤ [ ]кр, а простое сжатие уже учтено.
Необходимо сделать оговорку: сказанное справедливо для стержней без местных ослаблений.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть