Глава 4
Теория напряжённого и деформированного состояния
4.1.Основные сведения о напряжённом состоянии детали в точке
Рассмотрим деталь произвольной формы, нагруженную произвольной самоуравновешенной системой сил, и точку детали, напряжения
в которой нас интересуют (рис. 4.1.1, а). Через точку можно провести
бесконечное множество сечений, напряжения на которых, в общем слу- чае, различны. С поворотом секущей плоскости напряжения меняются
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
определ¼нным образом.
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.1.1. Напряж¼нное состояние детали в точке
Совокупность напряжений, действующих на бесконечном множестве площадок, проходящих через данную точку нагруженной детали, называют напряжённым состоянием детали в точке .
Исследовать напряж¼нное состояние значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения на любой площадке по минимальным исходным данным. В теории упругости доказывается, что это можно сделать, если известны напряжения на тр¼х взаимно перпендикулярных площадках. Следовательно, напряж¼нное состояние детали в точке зада¼тся напряжениями на тр¼х взаимно перпендикулярных площадках.
Выберем правую винтовую систему координат и в окрестности точ- ки вырежем бесконечно малый элемент, грани которого перпендику-
лярны координатным осям и покажем его отдельно (рис. 4.1.1, á).
Закрыть
Покажем напряжения на гранях элемента: , , нормальные напряжения ( , ‖ ); , , , , , - касательные напря- жения ( касательное напряжение на площадке, перпендикулярной оси и направленное параллельно оси ).
Элемент должен находиться в равновесии, поэтому напряжения на противоположных гранях должны быть такими же по величине и противоположными по направлению. Таким образом, на тр¼х взаимно перпендикулярных площадках действуют 9 напряжений или 9 компонент напряж¼нного состояния детали в точке. Выпишем их в виде тензора напряжений
.
По закону парности касательных напряжений: = , = ,= , то есть из 9 компонент останется только 6: , , , , ,
.
Зная эти 6 напряжений, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку .
Если площадку поворачивать, то напряжения на ней меняются, и всегда можно найти такое положение площадки, когда касательные напряжения на ней равны нулю.
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными, а напряжения, действующие на этих площадках,
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
называются главными напряжениями.
В теории упругости доказывается, что при любом напряж¼нном состоянии имеется как минимум три главных взаимно перпендикулярных
площадки.
Покажем бесконечно малый элемент, грани которого параллельны
главным площадкам (рис. 4.1.2). В этом случае (если известны главные напряжения и положение главных площадок), напряжения на любой площадке можно определить, имея три главных напряжения 1, 2,3, ïðè÷¼ì 1 ≥ 2 ≥ 3, òî åñòü 1 алгебраически наибольшее на- пряжение ( 1 = наиб), à 3 алгебраически наименьшее напряжение
( 3 = наим).
Рис. 4.1.2. Главные напряжения
Какие бы площадки, проходящие через данную точку . мы не рассматривали, напряжения на них не могут быть больше 1 и меньше 3.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
В частных случаях некоторые из главных напряжений могут быть равными нулю. В связи с этим различают 3 вида напряж¼нных состояний:
Рис. 4.1.3. Виды напряж¼нных состояний
I. Линейное напряж¼нное состояние (ЛНС) (рис. 4.1.3, à):
1)1 ̸= 0, 2 = 3 = 0 центральное растяжение;
2)1 = 2 = 0, 3 ̸= 0 центральное сжатие.
II. Плоское напряж¼нное состояние (ПНС) (рис. 4.1.3, á):
1)1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 = 0;
2)1 ̸= 0, 2 = 0, 3 ̸= 0;
3)1 = 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0.
III. Объ¼мное напряж¼нное состояние (ОНС) (рис. 4.1.3, â):
1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть