ì/ñåê, = |
|
|
об/сек. Подставим эти значения в общую формулу: |
|||||||
60 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
73, 55 · |
= 702, 4 · |
|
. |
|||
|
|
|
2 · · |
|
|
|||||
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|||
Это инженерная формула, в ней л. с., об/мин, а Нм.
7.2.Напряжения круглого вала при кручении и расчёт на прочность
Изобразим вал до нагружения (рис. 7.2.1, а). Пусть нижним концом он защемл¼н. Выберем систему координат, ось направим по оси
вала. Вырежем элемент вала двумя поперечными сечениями, одно на расстоянии от начала координат, второе на от первого и двумя
осевыми плоскостями, между которыми малый угол .
Покажем вал и элемент после нагружения (рис. 7.2.1, б). В любом сечении вала крутящий момент к = (ðèñ. 7.2.1).
Задача определения напряжений статически неопределима. Нужно записать уравнения статики и дополнить их уравнениями совместности деформаций. Изменим порядок. Сначала составим уравнения совместности деформаций. Закономерности деформаций изучались сна- чала опытным пут¼м, а затем и теоретическим. Установлено.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 7.2.1. Закономерность деформации вала
1.Поперечные сечения после нагружения остаются плоскими и перпендикулярными оси вала, т.е. выполняется гипотеза плоских сечений.
2.Расстояния между любыми поперечными сечениями вала после
нагружения не изменяются, т.е. = 0.
3. Диаметр вала и величина угла не изменяются, радиусы не
искривляются, то есть поперечные сечения в своей плоскости не деформируются они лишь поворачиваются как ж¼сткие диски, отсюда
= = = 0.
Из равенства нулю вышеуказанных линейных и угловых деформаций, согдасно закону Гука, следует, что = = = = 0. Эти зависимости выражают закономерности деформации при кручении.
Изобразим элемент в состоянии до нагружения (пунктирные линии) и после нагружения (сплошные линии). На произвольном расстоянии
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
от оси рассмотрим деформации элемента: абсолютный сдвиг;
элементарный угол поворота сечения: = + − ; угол, на который поверн¼тся прямая, параллельная оси, то есть это угол сдвига (рис. 7.2.2).
Рис. 7.2.2. Деформации элемента вала
Из верхнего треугольника: = · , из вертикального треугольника: = · , отсюда · = · , тогда
= · .
Эта формула выражает закономерности деформации при кручении.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Теперь выразим эту закономерность в напряжениях, для этого нужно знать напряж¼нное состояние элемента.
Покажем ещ¼ раз элемент и напряжения, действующие по его гра-
ням, (они были рассмотрены при изучении темы "Сдвиг"). По четыр¼м граням элемента действуют только касательные напряжения это чи-
стый сдвиг (рис. 7.2.3). Следовательно, при кручении вала круглого поперечного сечения в любой его точке реализуется чистый сдвиг.
Рис. 7.2.3. Напряж¼нное состояние вала
При чистом сдвиге = · , поэтому
= · ·
это уравнение совместности деформаций в напряжениях.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Теперь составим уравнения равновесия (статики). Покажем поперечное сечение вала, крутящий момент к > 0. Покажем элементар-
ную часть сечения и напряжение , действующее в ней (рис. 7.2.4). Составим уравнение равновесия
∫
∑
= · = к.
Рис. 7.2.4. Поперечное сечение вала
Решая совместно уравнение совместности деформаций и уравнение равновесия, получим
· · ∫ 2 = к.
Величины и выносим за знак интеграла, так как они не зависят от радиуса. В этой формуле интеграл представляет собой полярный
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
момент инерции поперечного сечения вала: = |
· 4 |
. Тогда |
|||||
32 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
= |
к |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
· |
|
|
||||
где относительный угол закручивания, то есть угол закручивания
вала длиной, равной единице.
Чем больше полярный момент инерции, тем меньше относительный угол закручивания , то есть тем ж¼стче вал, поэтому произведение
· называется ж¼сткостью вала при кручении.
Подставим |
|
в формулу (1), тогда = · · |
к |
. Сократив , |
|
|
|
|
|||
|
|
· |
|||
получим окончательную формулу для касательных напряжений при
кручении
= к · .
Изобразим эпюру касательных напряжений на любом радиусе (рис. 7.2.5).
Видно, что наибольшие касательные напряжения действуют на по-
верхности вала и равны наиб = |
к |
|
· наиб, íî |
|
= момент |
|
наиб |
||||
сопротивления вала кручению, тогда |
|
|
|
||
наиб = к ,
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 7.2.5. Распределение касательных напряжений
где для круглого сечения = |
· 3 |
. |
|
16 |
|||
|
|
Переходим к расч¼ту на прочность. Условие прочности при круче- нии по любой теории наиб ≤ [ ]. По IV теории, которая наболее точна
для деталей из пластичных материалов, связь между допускаемыми
[ ]
напряжениями: [ ] = √3.
Подставим в условие прочности значение наиб в наиболее опасном
сечении
| к | наиб ≤ [ ].
Это условие прочности при кручении для всего вала. Здесь | к | наиб
Закрыть
бер¼тся с эпюры крутящего момента. По этому условию проверяется прочность вала (первая задача).
Вторая задача назначение размеров поперечного сечения решается так
≥ |
| к | наиб |
, |
èëè ≥ √3 |
|
16· | к | наиб |
|
. |
[ ] |
[ ] |
||||||
|
|
|
|
· |
|
|
|
Третья задача определение грузоподъ¼мности
| к | наиб≤ [ ] · .
По этой формуле определяется наибольший крутящий момент, а зная | к | наиб, можно найти допускаемые внешние пары сил.
Несколько слов о наиболее экономичном сечении вала. Покажем эпюру напряжений в вале сплошного сечения. Здесь возможности материала полностью используется только на поверхности вала. Остальной материал недогружен, особенно у оси. Поэтому необходимо убрать материал от оси. Получим (рис. 7.2.6) пустотелый вал.
У пустотелого вала весь материал работает при напряжениях, близких к допускаемому. Применение пустотелого вала приводит к увели- чению его грузоподъ¼мности при той же площади поперечного сече- ния. Но, если стенка вала очень тонкая, то может быть местная потеря устойчивости.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 7.2.6. Выбор наиболее экономичного сечения вала
Покажем, что при кручении имеются сжимающие напряжения, которые могут привести к потере устойчивости тонкостеннго вала. В лю-
бой точке вала (круглого) чистый сдвиг. Главные напряжения действуют на площадках, пов¼рнутых на угол 45 , и сжимающее главное
напряжение 3 = − (ðèñ. 7.2.7).
Рис. 7.2.7. Сжимающие напряжения
Напомним формулу момента сопротивления кручению для пусто- |
|||||||||
телого вала |
|
= |
· 3 |
· |
(1 |
− |
4 |
). |
|
|
16 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
7.3. Перемещения при кручении круглого |
|
|
|
|||
Домашняя |
||||||
вала |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
JJ |
|
II |
|
|
|
|
|
|||
Перемещения вала вполне определены, если известен угол поворота |
J |
|
I |
|||
поперечного сечения вала, т.к. поперечные сечения вала поворачива- |
|
|
|
|
||
ются как ж¼сткие диски. |
|
|
||||
|
Назад |
|||||
Изобразим вал, нагруженный внешними парами сил (рис. 7.3.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Будем рассматривать угол так обозначается угол закручивания |
|
|||||
На весь экран |
||||||
вала на участке . это угол, на который сечение поверн¼тся от- |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
носительно сечения , где и произвольные сечения. Как определить |
|
|
|
|||
? |
|
|
|
|||
Рис. 7.3.1. Перемещения вала
Закрыть
В предыдущем параграфе было получено:
|
= |
|
к |
, |
|
= |
к |
· . |
|
· |
· |
||||||
Здесь угол закручивания вала на элементарном участке . Чтобы получить угол закручивания вала на участке , просумми-
руем углы закручивания элементарных участков
= ∫ |
|
· · . |
|
|
|
к |
|
Это общая формула для определения угла закручивания вала на участке .
Теперь определим угол закручивания всего вала
= ∫0 |
|
· |
· |
|
|
к |
|
угол, на который одно торцевое сечение поверн¼тся относительно другого.
Если крутящий момент на каждом участке постоянен и вал постоянного поперечного сечения, то
∑ ( ) · ( )
= к .·
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть