жем написать

А٥) 2 ٨٦ = ؟)> (П1.15)

где А|л٠л(Р)—допустимая абсолютная погрешность в значении &-го момента случайной величины ٥. Заметим, что моменты в

приведенных формулах относятся к генеральной совокупности. Практически же их вычисляют на основе данных выборочных из­мерений индивидуальной дозы. Необходимо провести специальный анализ, чтобы установить связь между Лрй(Р) и допустимой по­грешностью в значении индивидуальной дозы. Задача не из про­стых, но решаемая применительно к конкретному виду распреде­ления ۶(٥), устанавливаемому на основании выборочных измере­ний индивидуальной дозы.

Моменты №(&) являются параметрами распределения ۶(٥); их число, а следовательно, и число членов ряда в формулах (П1.14) и (П1.15) определяются видом этого распределения. На، пример, для нормального закона распределения достаточно взять два первых члена ряда, поскольку первый момент Ц1(٥), равный среднему значению дозы, и второй момент цг(٥), связанный с дис­персией величины ٥, полностью задают это распределение. На практике распределение индивидуальной дозы может отличаться от нормального, однако вряд ли возникнет необходимость исполь­зовать более чем три первых момента.

Изложенный подход можно назвать моментной концепцией, по­скольку в его основе лежит оценка моментов распределения инди­видуальной дозы и их допустимых погрешностей. Индивидуальный дозиметрический контроль — частный случай выборочного контро­ля. Нет принципиальных ограничений на применение моментной концепции к любым видам выборочных измерений. Развитие мо­ментной концепции до удобных практических приемов могло бы дать в наши руки инструмент для обоснованной оценки допусти­мых погрешностей измерения дозиметрических величин во многих случаях выборочного контроля, направленного на обеспечение ра­диационной безопасности человека и окружающей среды.

2. Оптимизация приборной погрешности по экономическому

критерию

Мы рассмотрели некоторые возможные подходы к оценке допу­стимой погрешности в измерении дозиметрической величины. «До­пустимая» в данном случае означает такое максимальное значение погрешности, непревышение которого в конкретных условиях изме­рения обеспечивает непревышение неопределенности в оценке ожи­даемого радиационно-индуцированного эффекта. Рассмотрим при­мер возможной оптимизации погрешности. Любая оптимизация, строго говоря, есть компромисс по меньшей мере между двумя противоположными тенденциями, удовлетворяющий некоторым за-

359

Рис. 99. Зависимость затрат от погреш- ности прибора

данным критериям. В данном случае речь будет идти об опти- мизации приборной погрешности при долговременном контроле за радиоактивным загрязнением ок- ружающей среды путем выбороч-

ных измерений.

Выборочные измерения имеют целью определить параметры ге- неральной совокупности некоторой случайной величины, закон рас- пределения которой в общем случае неизвестен.

В дальнейшем будем иметь в виду контроль за содержанием некоторого радионуклида в почве на достаточно большой террито- рии. Контролируемая величина здесь — удельная активность ра- дионуклида. «Достаточно большая территория» означает, что в пределах контролируемой зоны значение удельной активности в٠ произвольной точке может рассматриваться как случайная вели- чина, пространственное распределение которой отражает вероят- ностный закон генеральной совокупности. Выбор радиоактивности в качестве измеряемой примеси, а почвы — в качестве контроли- руемого объекта не накладывает каких-либо принципиальных ог-

раничений в нашем рассмотрении. Основные закономерности, фор-

мулы и выводы оказываются справедливыми независимо от вида измеряемой примеси и контролируемого объекта (почва, воздух, вода, живые организмы и т. п.).

Оптимизация по экономическому критерию означает выбор та- ких условий контроля, при которых обеспечиваются минимальные расходы на определение контролируемой величины с заданной по- грешностью. Подчеркнем, что такая постановка вопроса отличает- ся от часто встречающейся задачи оптимизации, в основе которой предусмотрено обеспечение минимальной погрешности измеряемой величины. В нашем же случае допустимая погрешность значения контролируемой величины заранее задана. Регулирующим пара-

метром, изменением которого минимизируются расходы, служит погрешность измерительной аппаратуры е — приборная погреш-

Идея оптимизации иллюстрируется графиком на рис. 99. По оси ординат отложены затраты, по оси абсцисс — приборная по- грешность е. Кривая ٩٢١1 отражает затраты, связанные непосредст- венно с процедурой контроля. Чем выше погрешность измерения, т. е. чем менее точна измерительная аппаратура, тем больший объем выборки необходим для обеспечения заданной результиру- ющей погрешности измеряемой величины: увеличение объема вы- борки в с ою очередь ведет к росту затрат. Поэтому кривая Т٦1 возрастает с увеличением е. кривая Ц2 отражает стоимость самой измерительной аппаратуры. Чем точнее прибор данного типа, тем

360

он дороже. Поэтому кривая Т12 -падает с ростом 8. Общие затраты выборочного контроля представляют сумму затрат ٦٦1 и ج٢٦; общие затраты в зависимости от 8 представлены кривой ٠٩ как результат сложения кривых Т٦1 и ٦12٠ Форма кривой указывает на наличие оптимальных условий: при 8=80 расходы минимальны.

Контролируемый параметр генеральной совокупности в нашем случае — среднее значение удельной активности радионуклида в почве, оценкой которой является выборочное среднее х:

(111.16) ٠،دفل=ت

1لأ، 1

где я،• —значение удельной активности, полученное в результате измерения одной ٤-й пробы; я —число взятых проб, или объем вы- борки.

Удельная активность одной пробы XI выступает здесь в каче- стве случайной величины. Примем, что ее распределение в преде- лах контролируемой зоны характеризуется дисперсией, оценкой которой является выборочная дисперсия Со:

±(х٢-٤٠)2

ادئة٠ — I (П1.17)

В общем случае процедура контроля включает следующие эта-- пы: а) взятие пробы; измерение ее массы; б) физико-химическая обработка пробы до получения препарата, пригодного для инстру- ментального анализа; в) инструментальный анализ - идентифика- ция и измерение активности данного радионуклида в препарате.

Измеренная активность препарата относится к единице исход- ной массы пробы, и полученный результат принимают за значение удельной активности X[ в 1-й пробе; при необходимости вводят по- правки, учитывающие неполное извлечение радионуклида из про- бы в процессе приготовления препарата. Каждый из перечислен- ных этапов вносит свою погрешность в найденное значение удель- ной активности X[. Так, на этапе а). П'Огрешность связана с отбо- ром пробы и измерением ее массы, на этапе б) —с неполным извлечением данного радионуклида из пробы при ее физико-хими- ческой обработке, на этапе в) —с методическими погрешностями измерения активности и погрешностями самого измерительного прибора.

Выделим следующие составляющие погрешности эксперимен-. тального значения удельной активности в одной пробе:

—методическая погрешность; она включает погрешности,, связанные с этапами а) и б), а также методические погрешности инструментального анализа; к последним можно отнести, напри- мер,'погрешности, связанные с обработкой спектров, самопогло- пением излучения, градуировкой и т. п. Считаем, что методиче- ская погрешность 5м является случайной, а ее систематическая

361

составляющая либо пренебрежимо мала, либ٠ на нее сделана со­ответствующая поправка;

S — случайная погрешность измерительной установки — при­борная случайная погрешность;

О — неисключенный остаток систематической погрешности из­мерительной установки — приборная систематическая погрешность.

Представим результирующую приборную погрешность е через случайную S и систематическую 0 составляющие:

е = ys² + 6². (П1.18)

Погрешности S_M и е формируют погрешность определения удельной активности в одной пробе. Нас же интересует среднее значение удельной активности х, определяемое формулой (П1.16) по результатам измерения п проб, и его погрешность.

Пусть 6—результирующая погрешность среднего значения удель­ной активности х; она определяется случайными и систематиче­скими погрешностями измерения одной пробы S_M, S, 0, объемом выборки п, а также дисперсией удельной активности в пределах контролируемой зоны а٠²•

Обозначим сг²=ог₀²+؟٠м², тогда

8، (П1.19)

В ٠ входят все случайные погрешности, обусловленные проце­дурой контроля, кроме приборной, а также среднее квадратиче­ское отклонение ٠ь удельной активности в ее распределении в пре­делах контролируемой зоны.

Из формулы (П1.19) получаем следующее выражение для объ­ема выборки п:

(Г11.20)

При неизменных методике отбора и обработки пробы, т. е. при u²=const., объем выборки л, при котором обеспечивается непре- вышение заданной результирующей погрешности S, должен воз­растать с ростом приборной погрешности в, однако точный вид зависимости п от в определяется соотношением случайной и систе­матической составляющих приборной погрешности.

В качестве экономических критериев примем затраты тц, свя­занные с процедурой выборочного контроля, и затраты т١2٠ опреде­ляющие стоимость измерительного прибора. Общие затраты ٠٩ на одноразовое определение средней удельной активности в контро­лируемой зоне равны сумме ٩i и ٩₂:

٢٦=٢٦i+٢٦2٠ (П1.21)

Затраты ٩i не включают стоимость измерительной аппаратуры (прибора); они учитывают лишь расходы на ее эксплуатацию, включая зарплату персонала. Величина ٩i представляет собой,

362

следовательно, эксплуатационные расходы на всю процедуру по- лучения одного значения средней удельной активности X. Назовем эти расходы расходами на одно измерение (в отличие от расходов на одну пробу). Полагаем, что расходы на одно измерение про- порциональны объему выборки:

т١1=а„, (П1.22)

где а —средние эксплуатационные расходы на измерение одной пробы.

Затраты Т|2 включают стоимость прибора, имеющего погреш- ность е. Полагаем, что чем точнее прибор данного типа, тем он дороже в изготовлении и тем выше затраты 1٦2• Пусть ٥0-стой- мость прибора, результирующая погрешность которого во, а ؤ — стоимость прибора с погрешностью е. Примем следующее соотно- шение между 0ؤ и :٥

ب٠ههه. (П1.23)

Пусть далее М —полное число проб, которое может быть из- мерено данной измерительной установкой (прибором) за все вре- мя эксплуатации. Другими словами, М —полное число измерений, на которое рассчитана измерительная аппаратура, ресурс прибо- ра. Тогда стоимость прибора, приходящаяся на одно измерение среднего X с объемом выборки п, будет

712 ==٠به?ح (П1.24)

Подставив формулы (П1.22) и (П1.24) в формулу (П1.21), полу- чим

1 = л(ب خ،|-٥). (П1.25)

؟оитана ٠٩ есть экономический критерий оптимизации; задача состоит в том, чтобы, обеспечить его минимальное значение при заданной погрешности .5.

Примем, что Со равна оптимальной приборной погрешности. Тогда ъо в формуле (П1.25) есть стоимость оптимизированного прибора. Оптимальной приборной погрешности соответствуют оп- тимальный объем выборки Ло и минимальные общие затраты По.

Величины ьо, Яо, По можно рассматривать в качестве парамет- ров оптимального контроля.

Для целей анализа удобно перейти к безразмерным величинам. Введем следующие обозначения:

0ه/سد —отношение общих затрат на проведение выборочно- го контроля за все время эксплуатации прибора с реальной по- грешностью е к стоимости оптимизированного прибора;

0/ك=غ — отношение случайной составляющей приборной по- грешности к систематической;

363

80ا8تغ — отношение полной' погрешности неоптимизированного прибора к полной погрешности оптимизированного прибора؛'

с=аМ/Ьо — отношение стоимости процедуры полного числа из٠ мерений за все время эксплуатации прибора к стоимости оптими- зированного прибора, т. е. отношение затрат на эксплуатацию (эксплуатационные расходы) при полной выработке ресурса к стоимости измерительного прибора (измерительной аппаратуры).

С учетом введенных обозначений, используя формулы (111.18), (П1.2О) и (П1.25), получаем следующее основное уравнение:

²:آببمإآ٠٢)• '(П1.26)

Условия оптимизации теперь можем написать следующим об- разом:

ع о при 5=1. (П1.27)

Из формул (П1.18) и (П1.2О) получим оптимальный объем выборки По, соответствующий минимальным общим затратам:

„٠سس:٠ (П1.28)

продифференцировав формулу. (П1.26) по ج и применив уело- ВИЯ (П1.27), получим алгебраическое уравнение четвертого по- рядка относительно 80؛ уравнение оказывается неудобным для анализа и решения в общем виде. Однако для различных конкрет- ных условий с помощью несложной вычислительной техники не- трудно получить оптимальные параметры, а также исследовать влияние параметров с и к на оптимальные условия, в отдельных случаях тем не менее удается получить удобные аналитические выражения.

На основе изложенных подходов можно установить связь меж- ду точностными характеристиками аппаратуры и процедуры кон- троля, с одной стороны, и стоимостными показателями данного вида выборочного контроля —с другой, что может быть исполь- зовано для решения таких практических задач, как оценка опти- мальных затрат при проведении контроля. и ее сопоставление с реальными затратами для заданных условий؛ определение необ- ходимого объема выборки при заданных параметрах контроля؛ оценка максимально допустимой приборной погрешности؛ выбор измерительной аппаратуры по величине приборной погрешности с учетом стоимости с целью приближения к оптимальным условиям контроля؛ разработка аппаратуры целевого назначения с заданной оптимальной погрешностью.

Рассмотренный принцип оптимизации приборной погрешности по экономическому критерию можно распространить и на приборы, предназначенные для измерения дозного ПОЛЯ. Допустим, нас ин- тересует топография дозного ПОЛЯ в некотором пространстве. Что- бы ее получить, надо произвести выборочные измерения в разных 364