Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Электромагнитные поля и волны

Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf

Скачиваний:

305

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 444 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ГЛАВА III

ЭНЕРГИЯ ЭМП

3.1. Удельная мощность сторонних источников в ЭМП Мощность сторонних источников

ЭМП, как один из видов материи, является носителем энергии. Электромагнитная энергия может преобразовываться в любой другой вид энергии: механическую (ускорение зарядов), тепловую, химическую, внутреннюю энергию кристалла, молекулы, атома и т.д. И, наоборот, все перечисленные виды энергии могут преобразовываться в электромагнитную энергию.

Рассмотрим произведение δ E и распишем его в конечных приращени-

ях:
r r	rr	∆q	r		r		∆A
r r	rr	∆q	∆l		r		∆A		r
δ E	= ρυE ≡			E =				=	рП .	(3.1)
δ E	= ρυE ≡	∆V	∆t	E =		∆t∆V		=	рП .	(3.1)
		∆V	∆t			∆t∆V
Здесь ∆А – работа силы поля в объеме ∆V за время ∆t, рП – удельная
мощность потерь (в пределе ∆V → 0 ).
Рассмотрим джоулевы потери: δ =σ E . Тогда
pПσ	r	= σ E 2 .
pПσ	=σ EE	= σ E 2 .								(3.2)
Однако плотность тока δ							может создаваться не только рассматривае-

мым полем, но и сторонними по отношению к этому полю силами, которые могут иметь и не электромагнитную природу (например, силы инерции дви-

жущихся электронов в электронных приборах типа «О»).		r		r
		r	=σ	r
Поэтому плотность тока δ можно представить в виде δ			=σ	E + δст,
где δrcm характеризует действие сторонних источников. Теперь полная
удельная мощность в данном поле может быть записана как
rr	r r
p = δE = δE 2	+δстЕ = pПб − pст ,			(3.3)

где pcт - мощность сторонних источников, отдаваемая данному полю (этим определяется знак pcт ). Такимr образом, мощность сторонних источников определяется как pcт = −δcтE .

3.2. Баланс энергии в ЭМП. Теорема Умова-Пойтинга

Вначале докажем следующее векторное тождество:

r	r		r		r	− E rot H
div [E, H ]= H rot E						− E rot H
r r				r r			↓r r	r ↓r		=
div[E, H		]= [E, H ]= E, H						+ E,H		=


r			r	r			r	r	r	r	r
= H	,		E	− E	,		H = Hrot		E −	Erot	H .

Здесь - вектор-оператор типа

= Xr0 ∂∂x +Yr0 ∂∂y + Zr0 ∂∂z ,

стрелки сверху указывают вектор, на который действует .

Составимr баланс энергии. Для этого первое УМ умножим на ( − E ),

второе на H и сложим, используя затем доказанное векторное тождество. При этом получим

r r r r	r r	r	∂D	r	∂B	r r
Hrot E − Erot H = div[E, H ]= − E				+ H		−δ E .	(3.4)
			∂t		∂t

Перейдем к интегральной формулировке полученного уравнения, интегрируя левую и правую части по объему V с граничной поверхностью S и используя в левой части теорему Остроградского-Гаусса:

r r

∂B

r r

∫[E, H ]dS

= −∫ E

∂D

+ H

dV − ∫δ EdV

∂t

− PП6 .

(3.5)

= −∫ E

∂D

+ H ∂B

dV + Pcт

∂t

В записанном уравнении нам известен смысл только последних двух членов справа – это мощность сторонних источников и омических потерь в объеме V. Для того чтобы установить физический смысл остальных членов, рассмотрим два следующих предельных случая.

Первый случай.

Пусть имеется объем V, в котором

1) Рсm= 0,

2)V изолирован от rвнешнегоr пространства непрозрачной S, так что на внешней стороне S ∫[E, H ]nrdS = 0 .

Тогда имеем

PП6 = −

∂B

∂D

+ H

dV .

V∫

∂t

Но мощность потерь в изолированном объеме V должна быть численно

равна скорости убывания запасенной энергии − dW

. Следовательно,

∂D + H

∂B dV = ∂W = ∂wdV ,

∂t

V∫ ∂t

V∫

где w – удельная энергия ЭМП.

Таким образом,

∂w

∂D

∂w

∂B

= E

+ H

(3.6)

∂t

Положим, что εa ≠ f (t) и µa ≠ f (t) (диэлектрических и магнитных

потерь нет). Тогда

∂wЭ

∂

εa ∂

r r

∂

= E

εa E

= ε

∂E

(EE)=

εa E

∂t

2∂t

∂t

Таким образом, удельная энергия электрического поля из УМ определяется как

wЭ =	ε	а	Е2	.	(3.7)
wЭ =			2	.	(3.7)
			2

Аналогичным путем находим формулу удельной энергии магнитного

поля:

wМ =	µ	а	Н2	.	(3.8)
wМ =			2	.	(3.8)
			2

Второй случай:

1) Pст ≠ 0 ;

2)процесс установился, т.е. dWd t = 0 ;

3)PП6 = 0;

4)S прозрачна для ЭМП.

	В этом случае имеем
	s∫		r	r	r
	s∫	[E, H ]dS = Pcm .						(3.9)
		[E, H ]dS = Pcm .						(3.9)
	С другой стороны, поскольку в рассматриваемом случае в объеме V нет
потерь и нет накопления электромагнитной энергии, Pcm = PΣ , где PΣ -
мощность излучения через граничную поверхность S. Следовательно,
r		v		r		r r	S0 - плотность потока энергии через
∫ E,	H			dS	=	P∑ = ∫S0dS где	S0 - плотность потока энергии через	S. Та-
s					r	r S r
ким образом,					S0	= [E, H ]. Эта величина называется вектором Умова-

Пойнтинга. Этот вектор указывает величину плотности потока энергии и направление распространения энергии ЭМП.

Возвращаясь к исходному уравнению баланса энергии ЭМП, имеем

s∫	r	r			dW
s∫	S	0 dS	+ PП6	+	dt	= Pcт.	(3.10)

Этот закон сохранения энергии для ЭМП носит название теоремы Умо- ва-Пойнтинга.

В дифференциальной форме он выражается в виде

div Sr0 + pП6 +

∂w

= pст .

(3.11)

∂t

Получим теперь выражение для диэлектрических и магнитных потерь,

что соответствует случаю εa (t) и

µa (t) . Будем иметь в виду периодические

электромагнитные процессы с периодом Т. Рассмотрим случай, когда

s∫Sr0dSr = 0, PП6 = 0 , среднее за период значение

T постоянно, поэтому сред-

нее значение

= 0.

Таким образом имеем

pcт = E

∂D

+ H

∂B

∂t

Найдем среднее за период Т значение величин:

∂B

∫pст dt = pcmT =

∫

∂D

dt + H

dt =

∂ t

∂

∫

r r

EdD +

HdB = pПε

+ pПµ ,

(3.12)

lэ

где lЭ - контур диэлектрического гистерезиса, lМ

- магнитного.

Таким образом,

pТ

рТ

, т.е. среднее за период Т удель-

Пε

Пµ

ные диэлектрические потери

ТПε

пропорциональны «площади» петли

диэлектрического гистерезиса Sэ = ∫EdD , магнитные -

ТПµ соответственно

lэ

площади SМ = ∫HdB петли магнитного гистерезиса.

lМ

ГЛАВА IV

КОМПЛЕКСНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ТЕОРЕМА

ОКОМПЛЕКСНОЙ МОЩНОСТИ

4.1.УМ в комплексной форме

Вбольшинстве случаев электродинамические задачи решаются, как и в радиотехнике, в спектральной области и решение ищется для гармонических процессов. Предполагается, что ЭМП имеет монохроматический характер, т.е. частота колебаний векторов ЭМП постоянна. В этом случае используется метод комплексных амплитуд (МКА). При этом имеется в виду

ψ =ψm cos(ω t +ϕ)= Reψme	j(ω t+ϕ )	&	jω t	&	(4.1)
ψ =ψm cos(ω t +ϕ)= Reψme		= Reψme		= Reψ .	(4.1)

Величина ψ&m =ψme jϕ называется комплексной амплитудой функции ψ . Символ Re обозначает выделение действительной части комплексного числа ψ& .

Аналогично можно записать в комплексной форме и векторную вели-

чину

Vr =Vr	cos(ωt +ϕ)= Re Vr&	e jω t , Vr&	=Vr	e jϕ .	(4.2)
m	m	m	m

Для дальнейшего анализа важны следующие свойства комплексных представлений гармонических процессов.

1.Дифференцирование Vr&(t) по времени t равносильно умножению Vr& на jω :

∂t = jω Vr& .

2.Интегрирование Vr&(t) по t равносильно делению Vr на jω :&

∫Vr&dt = Vr& .

jω

3. Справедливо следующее соотношение:

(4.3)

(4.4)

Vr1(ω t)Vr2 (ω t)T = 12 Re(Vr&1Vr&2* )= 12 Re(Vr&1*Vr&2 ),

(4.5)
T =	2π	, знак	T означает усреднение по t в интервале t [0,T ].

	ω

В дальнейшем будем пользоваться комплексными векторами

Er&, Dr&, Hr& , Br& .

Обратимся к вычислению диэлектрических и магнитных потерь в комплексной форме.

Диэлектрические потери

В этом случае вектор D запаздывает относительно E на угол диэлектрических потерь ∆Е:

		r&		r		− j∆E
ε	=	D	=	Dm	e	− j∆E	=ε'	− jε" .	(4.6)
		r
		r		r
&		E&		r
1a		E&		Em			1a	1a

Индекс «1» здесь поставлен затем, чтобы выделить диэлектрические потери из общих электрических потерь, куда входят и джоулевы.

Магнитные потери

В этом случае вектор B запаздывает относительно H на угол магнитных потерь ∆Н:

	r		r
	B&		Bm	e	− j∆H	= µ'a − jµ"a .
µa =	r	=					(4.7)
µa =	r	=	r				(4.7)
&	H&		r
	H&		Hm

Таким образом, в комплексной форме УМ сводятся к первым двум и записываются в следующей форме:

	r&				r&	r&
rot H = jωε					E +	δ ,
	r		&		r					(4.8)
	r			1a	r					(4.8)
	&			&	&
rot E		= − jω µa H.
								r	r	r
Преобразуем первое УМ с учетом того, что δ&									=σ E&	+δ&ст:
	r&		&			σ	r&	r&
rot H = jω			ε1a − j			E +δст.
						ω

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 444 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны

#
02.05.201431.23 Кб29Вопросы по ЭМПиВ.doc
#
02.05.20144.84 Mб305Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
#
02.05.2014820.22 Кб87Курсовая работа по эктродинамике.doc
#
02.05.2014651.78 Кб66Курсовая работа по эктродинамике1.doc
#
02.05.20142.71 Mб79Курсовая работа по эктродинамике2.doc
#
02.05.2014659.46 Кб48Курсовая работа по эктродинамике3.doc
#
02.05.2014578.56 Кб63Курсовая работа по эктродинамике4.doc