Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Электромагнитные поля и волны

Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf

Скачиваний:

262

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

8.9 Т-функции для решения двухточечных задач в теории нерегулярных волноводов

В п.8.4 развита общая теория произвольно-нерегулярных волноводов, основанная на отображении произвольно-нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр. В преобразованной (косоугольной) системе координат решение представляется в виде связанных нормальных волн с использованием проекционной процедуры. При этом амплитуды связанных волн определяются системой ОДУ с переменными коэффициентами, вид которых определяется профилем нерегулярного волновода. Граничные условия к этой системе ставятся в начальном и конечном сечении отрезка нерегулярного волновода (двухточечная задача). Решение этой задачи традиционными методами не встречает затруднений, если рассматриваются только распространяющиеся волны. Как показано ниже, для точного расчета волновода необходим учет и связанных с распространяющимися закритических волн, существенно меняющих характеристики волновода. Однако для закритических волн численное решение граничной (двухточечной) задачи с использованием пошаговых методов типа Рунге-Кутта или Хемминга невозможно из-за их быстрой расходимости (из-за малых ошибок появляются резко возрастающие решения). В этом случае необходимо строить аналитические решения на системе заданных узловых точек, удовлетворяющие граничным условиям краевой задачи и представляющие собой разложение искомых функций в базисе специальных функций, обеспечивающих разрешимость получающейся системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Такие специальные дискретно определенные Т-функции введены и описаны ниже.

8.9.1 Т-функции

Будем предполагать, что эти функции определены на системе N равноотстоящих точек tm: t0, t1…tN-1 интервала LN. Интервал LN определим следующим образом:


LN =	2π		sin(π / N )		= 2N sin(π / N ).		(8.104)

			(π / N )
В пределе при N → ∞ :
lim L	N	= 2π lim		sin(π / N )		= 2π.

n→∞					(π / N )

127

Кроме того, tm = mh, h =	LN	= 2sin(π / N ).	(8.105)
	N

Определим системы базисных функций k-го порядка первого рода tcNk(ktm) и второго рода tsNk(ktm) следующим образом:

2πk

πk tm

(kt

= cos

N sin(π /

k = -2, -1, 0, 1, 2… k – целое число.

2πk

πk t

(kt

) = sin

= sin

N sin(π

N )

Введем также комплексную tеNk-функцию

teNk (ktm ) = tcNk (ktm ) + jtsNk (ktm ).

В пределе N → ∞, ∆tN → 0, tm → t , имеем

lim tcNk (ktm ) = lim cos(			(π / N )		ktm ) = coskt,
lim tcNk (ktm ) = lim cos(			sin(π / N )		ktm ) = coskt,
N →∞	N →∞		sin(π / N )
lim tsNk (ktm ) = lim sin(			(π / N )	ktm ) = sin kt,
lim tsNk (ktm ) = lim sin(		sin(π / N )		ktm ) = sin kt,
N →∞	N →∞	sin(π / N )

lim teNk (ktm ) = cos(kt) + j sin kt = e jkt .

N →∞

(8.106)

(8.107)

(8.108)

Таким образом, в пределе, для непрерывного аргумента t, TNk-функции переходят в обычные тригонометрические функции.

В дискретном же варианте, как следует из определений (8.106), (8.107), имеют место иные соотношения:

		tcNk (ktm ) = cos(kxm ) ,	(8.109)
		tsNk (ktm ) = sin(kxm ) ,	(8.110)
где xm =	2π m,	tm = 2sin(π / N ) m .
	N	N

Таким образом, аргументы в Т–функциях и тригонометрических функциях k-го порядка различны. Это различие и реализует основное свойство Т–

128

функций на дискретном множестве точек tm, приводящее к аналитическим решениям: производные от этих функций на множестве tm с точностью до коэффициента равны самим функциям. Действительно:

tc′Nk (ktm ) = −Rk tsNk (ktm ) ,	(8.111)
ts′Nk (ktm ) = Rk tcNk (ktm ) ,	(8.112)
te′Nk (ktm ) = jRk t&eNk (ktm ) ,	(8.113)
tc′′Nk (ktт) = −Rk2tcNk (ktm ) ,	(8.114)
ts′′Nk (ktт) = −Rk2tsNk (ktm ) ,	(8.115)
te′′Nk (ktт) = −Rk2teNk (ktm ) ,	(8.116)
Rk = sin(πk / N ) / sin(π / N ) .

8.9.2 Взаимодействие Hoi волн в гофрированном волноводе с круговым сечением

Воспользуемся общей теорией нерегулярных волноводов, развитой в [26]. В рассматриваемом случае система дифференциальных уравнений для

амплитуд связанных волн H01(A&1 ), …, H0i (A&i ) имеет вид (источники внутри отрезка волновода отсутствуют):

2 &

1 dg

µi

dT 2

−

g 2

−

g dT

1 dg

(5)

1 d

(6)

− ∑

(4) dAj

−

= 0,

(8.117)

j=1 g dT

g dT

j≠i

i =1,2, ...

Здесь Т = 2λπ z, z - расстояние вдоль оси волновода, 0 ≤T ≤ L0 , λ -

длина волны в свободном пространстве; g(T) = b(z)/b1кр, b(z) – радиус внут-

129

ренней поверхности нерегулярного волновода, b1кр – критический радиус для

волны Н01, b1кр = λ µ1 / 2π, µi (i =1, 2, 3...)

- корни производной функции Бес-

селя 1-го рода нулевого порядка (J0′(µi )= 0).

γij(4)

µi µ j

(µ

)

µi2 − µ2j

J0 (µ j

)

i≠ j

γij(5)

µi µ j (µi 2 + 3µ j 2 )

(µ

)

(µi2

− µ2j )2

J0 (µ j

)

i≠ j

γij(6)

= −

µi µ j

(µ

)

i≠ j

µi2 − µ2j J0

(µ j

В случае, когда а) вход и выход отрезка нерегулярного волновода со-

гласованы; б) на входе и выходе выполняются условия: dTdg (0) = dTdg (L0 ) = 0;

в) сигнал подается только с левого конца и только на волне Н01, граничные условия в системе (8.117) имеют вид [26]:

(0)

= j

1−

µ1

/ g0

Ai (0),

(8.118)

µi

dAi

/ g

)

) = − j 1−

причем, при

/ g

= − j

/ g

−1 . Здесь g0 =

1−

µi

µ1

g(0), gL = g(L0).

в виде, удобном для дальнейшего

Рассмотрим

исходную систему (8.117)

численного счета:

d 2 A&i

dT 2

где

+ Q	&	I			(T )
+ Q	(T )A	− ∑	G		(T )
i	i	j=1		i j
		j≠i
					Gij

		&			&
	dAj				&
			+ Qi j (T )Aj			= 0, i =1, 2,...,	(8.119)
	dT		+ Qi j (T )Aj			= 0, i =1, 2,...,	(8.119)
	dT

		1 dg		(4)	, i ≠ j ,
=				γ ij
=		g dT		γ ij
		g dT

130

1 dg

Q (T )

=1−

−

(T )

µ1

g dT

1 dg

(5)

1 d

2 g

(6)

(T ) =

−

i ≠ j ;

g dT

Профиль волновода зададим следующим образом

g(T ) =1+ ∆ + H sin

(8.120)

+ a3

+ a5

в виде

разложения

в ряды по Т-

Далее представим A1, A2 , A3 ,...AI

функциям:

ktm

) = ∑c

A (t

N = N

+ N

+1,

i =1, 2... .

(8.121)

k =−N1 ik

(Обычно N1 = N2 ).

Здесь N –

число точек на интервале [0; L0];

r =

, где LN – период Т-

функций, т.е.

LN = 2π

sin(π / N )

= 2N sin(π / N ).

π / N

По определению (8.108):

πkt

= exp j

rN sin(π /

N )

Первая

вторая

производные

этой

функции

благодаря свойствам

(8.113) и (8.116) выражаются соответственно как:

′

= jRk teNk

teNk

te′′Nk

= −Rk2teNk

(8.122)

πk

где Rk = sin

/(r sin(π / N )).

131

Подставляем (8.121) в (8.119) с учетом (8.122) (для всех точек tm, исключая первую t1 и последнюю tN):

− ∑ c

+ ∑ c

Q (T) te

k=−N1 ik

Nk r

k=−N1

j ∑ c

(T) R

− ∑c

(T) te

(8.123)

k=−N1

k=−N11k

j ∑ c

(T) R

− ∑c

(T) te

... =0,

k=−N1

i =1,2, ....

Группируя слагаемые в (8.123) относительно коэффициентов разложений cik, имеем:

(−

+ Q (T ))te

∑ c

−

k=−N1

[− jG

(T )] te

∑ c

(T )R

+ Q

−

(8.124)

k=−N1

[−

(T )] te

−

∑ c

+ Q

− ... = 0,

i =1,2 ... .

k=−N1

В полученной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) множество {cik} представляет собой вектор неизвестных; а стоящие в квадратных скобках выражения – матричные элементы СЛАУ. В крайних точках (t1 и tN) используется уравнение (8.118), выражающее граничные условия задачи.

Первые производные берутся в соответствии с конечно-разностным определением правосторонней производной (это не влияет на общую точность решения):

dAi (0)

(t2 ) − Ai (t1 )

; h =

;

(tN ) −

(tN −1 )

dAi (L0 )

; i =1, 2... .

Используя представление (8.121), получаем:

132

dA (0)

∑ cik teNk

−teNk

h k =−N1

dA (L )

N −1

∑

cik teNk

−teNk

k =−N1

Заменяя

dA1,i (0)

dA1,i (L0 )

правой частью уравнений граничных условий

(8.118) и учитывая, что

kt1

teNK

−teNK

= t1 + h/2 и что

/ h = − jRK teNK

, где t

ktN

ktN −1

N −1

N-1

teNK

−teNK

/ h

= − jRK teNK

где t

= tN-1

+ h/2, оконча-

тельно получаем дополняющие систему (8.124) уравнения в крайних точках t1 и tN:

kt1

∑

− j

teNk

(8.125)

c1k jRk teNk

1−1/ g0

= A01

k =−N1

kt1

∑

cik

− j

teNk

= 0,

(8.126)

jRk teNk

1−

µ1

/ g0

k =−N1

N −1

ktN

∑

teNk

= 0,

(8.127)

c1k jRk teNk

1−1/ gL

k =−N1

N −1

∑

cik

teNk

= 0.

(8.128)

jRk teNk

1−

/ gL

k =−N1

µ1

Уравнения (8.124) вместе с (8.125)…(8.128) образуют полную СЛАУ для определения коэффициентов {cik}. После ее решения искомые распреде-

ления комплексных амплитуд волн A&1(tm ), …, A&i (tm ) определяются по формулам (8.121).

133

8.9.3 Результаты расчета

Точность расчетов по уровню относительной погрешности баланса мощностей волн δ=1.5% во всех ниже приведенных вариантах обеспечивалось при числе узловых точек N в пределах 101…121. Расчет проводился для трансформатора моды H01 в моду H02 на нерегулярном волноводе. Трансформирующий участок представляет собой плавно расширяющийся гофрированный волновод с одним, двумя гофрами и волновод с оптимизированным профилем. Оптимизация профиля трансформатора осуществлялась в соответствии с процедурой оптимизации, описанной в [26].

На рис. 8.7 приведены данные расчета для трансформатора с одним гофром. На рис. 8.7, а изображен профиль трансформатора g(T). Уровни, проведенные штриховыми линиями, указывают критические сечения gкрi для волн H02, H03, H04, на регулярных участках волновода. Оптимизация профиля указывает на то, что наилучшая трансформация волны H01 в волну H02 достигается при радиусе выходного регулярного участка, близком к критическому для волны H02. На рис. 8.7, б приведены распределения модулей амплитуд

Ai =	&	волн H0i (i =1,5 ) по длине трансформатора. Расчеты показали, что
	Ai

учет волны H06 не меняет результатов в пределах допускаемой относительной погрешности по мощности δ=1.5% Расчеты без учета H04, H05 волн также дают удовлетворительные результаты: δ не превышает 5% (по отношению к расчетам с учетом H04, H05, H06 волн ). Таким образом, сходимость проекционной процедуры по числу типов волн i весьма высока. Однако, существенным является учет ближайшей закритической волны H03 : без ее учета результаты оказываются совершенно неверными. Это указывает на необходимость учета хотя бы ближайших закритических волн при расчетах нерегулярных волноводов.

На рис.8.7, в приведены распределения “парциональных” потоков мощностей волн H01, H02, H03, …, H0i через поперечные сечения трансформатора в положительном направлении T (или z).

	π	2	&	&	*
				dAi
Pi =	2	J0	(µi ) Jm(Ai			)
				dt

Отрицательные значения Pi соответствуют обратным (по T) “парциальным” потокам мощности. В сечениях Т, где dTdg = 0 и волны энергетически не свя-

заны, Pi приобретают смысл реальных потоков мощностей волн H0i и

PΣ = ∑Pi представляют собой полную мощность, переносимую через эти се-

i=1

чения (т. е. разность потоков мощности, идущих вправо и влево через это сечение). Контроль точности расчетов осуществлялся по сохранению суммар-

ного потока мощности PΣ вдоль интервала Т в точках, где dTdg = 0 .

134

На рис. 8.7, г приведены распределения P1 и P2 , рассчитанные без учета закритической волны H03. Сравнение этих результатов с данными рис. 8.7, в указывает на необходимость учета этой закритической волны, как указывалось выше.

Как следует из рис. 8.7, для данного варианта трансформатора с простейшей конфигурацией профиля полного преобразования волны H01 в H02 не происходит: Р1 на выходе не близка к нулю.

На рис. 8.8 приведены аналогичные данные расчетов для трансформатора с двумя гофрами. Форма представления этих результатов та же, что и в предыдущем случае. Суть этих данных остается прежней: 1) для обеспечения необходимой точности необходимо учитывать взаимодействие распространяющихся волн H01 и H02 с закритическими вплоть до H05 ; 2) оптимизированный двухгофровый трансформатор, как и одногофровый, не обеспечивает полного преобразования волны H01 в H02 , необходима полная оптимизация профиля.

На рис. 8.9 приведены результаты полной оптимизации профиля трансформатора: рис. 8.9, а – оптимизированный профиль, рис. 8.9, б – распределение Pi для H01, H02 и H03 волн. Трансформация мод в этом варианте практически полная. Существенную роль в преобразовании H01 в H02 волну играет закритическая волна H03 , как это видно из рис. 8.9, б.

Наконец, следует указать и на эффективность использования аппарата Т-функций. Прямое интегрирование системы ДУ (8.117) при граничных условиях (8.118) пошаговыми методами Рунге-Кутта и Хемминга оказалось невозможным при учете закритических волн из-за расходимости этих методов (из-за малых ошибок появляются быстро возрастающие решения). Использование же в качестве базисов представления искомого решения традиционных систем функций – тригонометрических, ортогональных полиномов, атомарных функций, не обладающих свойствами Т-функций, приводит к плохо обусловленным СЛАУ и при числе узловых точек порядка 100 их решение из-за накопления ошибок не дает нужного результата.

135

Рис. 8.7

136

Рис. 8.8

137

Рис. 8.9

138

ГЛАВА 9. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ

9.1. Телеграфные уравнения.

Линии передачи, как было сказано в главе 6, делятся по признаку односвязного или многосвязного поперечного сечения. Их принципиальное отличие состоит в том, что в структурах с многосвязным поперечным сечением могут существовать поперечные электромагнитные волны (ТЕМ или Т- волны). У поперечных волн нет продольных компонент векторов Е или Н , они не имеют частоты отсечки и могут существовать при любом значении ω.

Частным случаем линий передачи с многосвязным поперечным сечением являются двухсвязные линии передачи, содержащие два параллельных проводника (коаксиальная линия, двухпроводная линия, микрополосковая линия). В двухсвязной линии передачи наряду с электрическими и магнитными волнами может существовать одна поперечная волна, которую можно описать с помощью так называемых телеграфных уравнений. Телеграфные уравнения формулируются относительно двух величин - напряжения U=U(z, t) и тока I=I(z, t) – которые задаются для каждого поперечного сечения z данной линии передачи в каждый момент времени t :

−	∂U		= RI + L	∂I ;
−	∂z		= RI + L	∂I ;
	∂z			∂t	(9.1)
−	∂I	= GU + C		∂U	(9.1)
−	∂I	= GU + C		∂U
	∂z			∂t

Здесь L – это погонная (т.е. приходящаяся на единицу длины) индуктивность линии; С – погонная емкость линии; R – погонное сопротивление линии; G – погонная проводимость (погонный коэффициент утечки).

В комплексной форме:

−	dU		= (R + jωL)I
	dz
		(9.2)
	dI
−		= (G + jωC)U
	dz

(временной множитель берется как e jωt , а производные по z обозначены че-

рез d/dz, поскольку комплексные амплитуды зависят только от переменной z).

Для получения общего решения уравнения (9.2) исключается одна из величин, например I, и после дифференцирования, в данном случае, первого уравнения (9.2) формулируется уравнение относительно U

d 2U	2	(9.3)
dz2	= −Г U ,	(9.3)
dz2

где Г - постоянная или коэффициент распространения

139

Г2 = ( jR −ωL)( jG −ωC)
и Г =[( jR −ωL)( jG −ωC)]1/ 2 .	(9.4)

Этот параметр обычно комплексный: Г = β − jα ; α - коэффициент затухания, т.е. величина потерь, вносимых отрезком линии единичной длины; β =ω/υф - коэффициент фазы, т.е. фазовый сдвиг на той же длине.

Общее решение уравнения (9.3) записывается в виде
U (z) = Ae− jГz + Be jГz .			(9.5)
Подставляя это выражение в первое уравнение (9.2), находится ток
I (z) =	1	(Ae− jГz − Be jГz ) ,	(9.6)
I (z) =	ZB	(Ae− jГz − Be jГz ) ,	(9.6)
	ZB
где величина
Z B =		jωL + R	(9.7)
		jωC + G

называется волновым сопротивлением линии.

Из формул (9.5) и (9.6) следует, что общее решение телеграфных уравнений равно сумме двух бегущих навстречу друг другу волн с произвольными комплексными амплитудами A и B соответственно.

В линии без потерь утечка полагается равной нулю (G=0, т.е. пространство между проводниками является непроводящим) и проводники считаются идеально проводящими (R=0), поэтому в этом случае

Z B = CL .

Рассмотрим вывод телеграфных уравнений (9.1) для линии передачи, состоящей из двух проводов – двухпроводной линии передачи без потерь

Рис. 9.1

(рис. 9.1).

Будем считать, что в первом проводе ток I=I(z, t), а во втором проводе(– I). Напряжение U=U(z, t) между проводами 1 и 2 будем определять как интеграл

2	r r
U = ∫	Edl ,	(9.8)
1

140

взятый в данном поперечном сечении z=const по кратчайшему пути от провода 1 к проводу 2.

Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме (закон электромагнитной индукции Фарадея)

∫	r r	d	r	r		dΦM
∫	Edl	= − dt	∫Bds		= −	dt	,	(9.9)
L			S

где S – поверхность, опирающаяся на замкнутый контур L.

Применим это уравнение к прямоугольному контуру abcd (рис.9.1). В данном случае

∫	r r	c	r r	a r	r	=U z2 −U z1 ,
∫	Edl	= ∫	Edl	+ ∫Edl		=U z2 −U z1 ,	(9.10)
L		b		d

где Uz 2 и Uz1 - напряжения между нижним и верхним проводами в сечениях bc и ad соответственно. Т.е. можно записать, что

dU =U z2 −U z1 = −				dΦM	.	(9.11)

				dt
С другой стороны, величина магнитного потока dΦM						через контур abcd в
соответствии с определением индуктивности будет равна
dΦM = I L dz ,						(9.12)
где L – погонная индуктивность линии.
Таким образом, из (9.10), (9.11) и (9.12) следует первое телеграфное
уравнение
	∂U		∂I
		= −L	∂t .			(9.13)
	∂z

Для вывода второго телеграфного уравнения будем исходить из уравнения непрерывности (глава 1) в интегральной форме, т.е. из закона сохране-

ния заряда		r
∂		r	r	= 0 .	(9.14)
∂t	∫ρdv + ∫δds			= 0 .	(9.14)
∂t	V	S

Применим его к отрезку [z; z+dz] провода 1 (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Интеграл

141

	∫ρdV = qdz			(9.15)
	V
определяет заряд в объеме V, а из определения электрического тока вытека-
ет, что	∫δdsr = I2 − I1 ,
				(9.16)
где I1 и I2 - величины	S
	токов в сечениях bc и			ad. Следовательно, можно
записать, что		d (q dz)
dI =	I 2 − I1 = −		.	(9.17)

		dz

Так как распределение электрического поля в плоскости поперечного сечения совпадает с распределением электростатического поля , то можно утверждать, что погонная плотность заряда равна q=CU, где С – погонная электростатическая емкость линии. Учитывая это соотношение, из (9.17) получаем

dI = −	d	(U C dz) ,
	dt
или окончательно

∂I	= −C		∂U
∂z				.	(9.18)
			∂t

Уравнения (9.13) и (9.18) и образуют систему телеграфных уравнений для тока и напряжения в линии без потерь

∂U	= −L	∂I
		∂t ,
∂z
∂I	= −C	∂U
∂z			.	(9.19)
		∂t

Так как для вывода телеграфных уравнений к законам электродинамики добавляются предположения о локальном характере магнитного и электрического полей, то и телеграфные уравнения применимы лишь при достаточно низких частотах. Условие применимости телеграфных уравнений для волны, распространяющейся в бесконечно длинной однородной линии, имеет

вид k2 − Г2 b <<1 (k 2 = ω 2ε0εµ0 µ). Для идеально проводящих линий

(R=0, G=0) оно удовлетворяется автоматически, так как в таких линиях β2 = Г2 = k2. Постоянная распространения в этом случае определяется из (9.4) как

β= ω(LC )1/ 2 ,

афазовая скорость волны в линии равна

142

v	=	ω	=	1
Ф		β		LC .

9.2.Расчет параметров коаксиальной

идвухпроводной линий.

Основными параметрами линии передачи без потерь, описываемой с помощью телеграфных уравнений, являются погонная емкость, погонная индуктивность и волновое сопротивление линии.

Для определения погонной емкости коаксиальной линии сопоставим электростатическое поле этой линии и поле цилиндрического конденсатора

(рис.9.3).

Вектор электрической индукции в цилиндрическом конденсаторе име-

Рис. 9.3.

ет только радиальную составляющую
Dr=q/2π,	(9.20)

что следует из теоремы Гаусса, если применить ее к цилиндру единичной длину по оси z.

Учитывая, что вектор электрической индукции D связан с вектором напряженности электрического поля E в линейной изотропной среде как

D= ε0εE

ивычисляя напряжение между внутренним проводником 1 и внешним проводником 2, имеем

b	b	q		q		b
U = ∫Er dr = ∫			dr =		ln		(9.21)
		2πε0εr		2πε0ε		a
a	a

( a – радиус внутреннего провода, b – радиус экрана коаксиальной линии). Тогда погонная емкость коаксиальной линии

С =	q	=	2πε0ε
				.	(9.22)
	U		ln(b / a)

143

Аналогично можно найти и погонную индуктивность. Пусть по проводнику 1 течет постоянный ток I, а по проводнику 2 течет ток – I. В этом случае магнитное поле будет отлично от нуля только в области a<r<b, так как при r>b магнитные поля проводников1 и 2 будут взаимно уничтожаться. Магнитное поле данной системы будет иметь только одну составляющую

Hϕ = I / 2πr ,

(9.23)

что вытекает из закона Ампера.

Вектор магнитной индукции B связан с вектором напряженности магнитного поля H через материальное уравнение

B = µ0 µH ,

следовательно, можно записать, что

B =	µ0 µI
B =	2πr .	(9.24)

Вычисляя погонный магнитный поток ФМ по формуле (9.9), получаем

µI

ΦM

∫

dr =

(9.25)

2πr

2π

а погонная индуктивность, соответственно, будет равна

L =	Φ	=	µ0 µ	ln	b	.	(9.26).
	I		2π
					a

Волновое сопротивление линии передачи без потерь определяется как

ZB =U / I = (L / C)1/ 2 ,

(9.27)

что позволяет с помощью (9.22) и (9.26) окончательно записать выражение

(µ

/ ε

)1/ 2

(µ / ε)1/ 2

(9.28)

2π

Выражения (9.22) и (9.26) удовлетворяют соотношению

LC=1/с2,

(9.29)

144

из которого видно, что при отсутствии потерь в проводах волны в линии распространяются со скоростью света с. Этот результат был получен с помощью телеграфных уравнений исторически раньше, чем была создана теория электромагнитных волн в свободном пространстве.

Рассчитаем погонную емкость двухпроводной линии, состоящей из двух параллельных проводов радиуса а, центры которых расположены на расстоянии b друг от друга (рис. 9.4). Рассмотрим эту линию приближенно при условии a/b<<1, т.е. когда радиус проводов значительно меньше расстояния между ними.

Обозначим через q погонный заряд провода 1 и через – q погонный за-

Рис. 9.4.

ряд провода 2 и вычислим электрическое поле каждого провода в отдельности. Электрическая индукция в каждой точке, лежащей на прямой, соединяющей центры проводников, будет равна сумме индукций, создаваемых каждым из проводников:

D =	q	−	− q	.	(9.30)
	2πr		2π(b − r)

Разность потенциалов между проводниками
		b−a
U =		∫Er dr ,			(9.31)

или согласно формуле (9.30) и материальному уравнению, связывающему D и Е,

b−a

b−a dr

b − a

∫

U =

dr =

2πε0ε

a r

−

2πε0ε b−a (b − r)

πε0

ε0ε

2πr

2π(b − r)

(9.32)

причем в последнем выражении в силу условия a<<b вместо (b-a) можно написать b. Следовательно, погонная емкость двухпроводной линии

С =	q	≈	πε0ε
				.	(9.33)
	U		ln(b / a)

При выводе формулы (9.33) распределение заряда на поверхности каждого провода считалось симметричным. Это значит, что не учитывался так называемый эффект близости, состоящий в неравномерном распределении

145

зарядов (и токов) по окружности проводов из-за взаимодействия зарядов. При условии b/a>>1 этот эффект выражен слабо.

Определим погонную индуктивность двухпроводной линии. Так как линия состоит из двух проводников, то нужно просуммировать магнитные поля, создаваемые каждым из них:

H =	I	+	I		.
	2πr		2π(b	− r)

Находим магнитную индукцию

B =	µ	0	µI		1	+	1
								,
	2π
				r			b − r

что позволяет определить магнитный поток

	µ0 µI b−a			1		1		µ0 µI		b − a
Φ =		∫			+		dr =		ln
	2π							2π		a
		a	r			b − r

и погонную индуктивность

L = ΦI ≈ µπ0 µ ln ba .

(9.34)

(9.35)

Исходя из (9.33) и (9.35) получаем волновое сопротивление двухпроводной линии при b >>а

1/ 2

µ 1/ 2

b − a

µ 1/ 2

Z B = (L / C)

≈

(9.36)

9ε

0ε

Для оценки условия, при котором излучением линии можно пренебречь, рассмотрим разомкнутую на конце двухпроводную линию (рис.9.5).

Рис. 9.5.

Переменный ток, текущий в каждом элементарном отрезке провода, можно рассматривать как элементарный диполь – источник сферических электромагнитных волн. В результате сложения волн, создаваемых обоими проводами, возникает электромагнитная волна, расходящаяся от открытого конца двухпроводной линии и уносящая с собой часть мощности волны линии. Но в случае выполнения условия kb<<1 (где k – волновое число в вакууме, b – расстояние между проводами), сферическая волна уносит лишь пренебрежи-

146

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны

#
02.05.201431.23 Кб26Вопросы по ЭМПиВ.doc
#
02.05.20144.84 Mб262Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
#
02.05.2014820.22 Кб78Курсовая работа по эктродинамике.doc
#
02.05.2014651.78 Кб55Курсовая работа по эктродинамике1.doc
#
02.05.20142.71 Mб63Курсовая работа по эктродинамике2.doc
#
02.05.2014659.46 Кб38Курсовая работа по эктродинамике3.doc
#
02.05.2014578.56 Кб45Курсовая работа по эктродинамике4.doc