Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

ЧАСТЬ 2

НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ИЛИ ВОЛНОВОДЫ

ГЛАВА VI

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ

6.1. Типы направляющих систем

Для минимизации потерь в устройствах СВЧ используются направляющие системы или волноводы (ВВ). Волны в ВВ занимают конечное поперечное сечение, они неоднородны в этом сечении и не рассеиваются в окружающее пространство. Назначение ВВ: линии связи; связь элементов СВЧ устройств; электродинамические системы в электронных приборах СВЧ; ускорители; системы СВЧ обработки в машиностроении, деревообработке, пищевой промышленности, сельском хозяйстве.

Рассмотрим некоторые типы ВВ. Вообще говоря, ВВ можно разделить на «открытые», в которых замкнутый внешний экран отсутствует, а поле концентрируется вблизи направляющих структур, и «закрытые», в которых в той или иной форме присутствует экран, ограничивающий поперечное распределение поля. Конечно, это разграничение достаточно условно: в «открытых» ВВ может быть поставлен экран, в «закрытых» - экран в определенных диапазонах может быть «прозрачным».

Начнем с систем, условно относимых к «открытым». На рис.6.1. изображена двухпроводная линия.

Рис. 6.1. Рис. 6.2.

При h << λ ввиду противофазности токов в проводах линии излучение в окружающее пространство весьма мало. На рис. 6.2 показана симметричная полосковая линия: 1 – токонесущая полоска, 2 – экран.

Несимметричная полосковая линия или микрополосковая изображена на рис.6.3. Здесь 1 – токонесущая полоска, 2 – диэлектрическая подложка, 3 – экран. Все поперечные размеры весьма малы по сравнению с длиной волны, излучение во внешнее пространство практически отсутствует. Указанные структуры нашли очень широкое распространение в микромощной технике.

42

1

2

3

Рис. 6.3.

Нетрудно увидеть развитие структуры микрополосок: экранированная микрополосковая линия (рис.6.4), щелевая линия (рис.6.5), копланарная линия (рис.6.6), полосково – щелевая экранированная линия (рис.6.7),

2

Рис. 6.4. Рис. 6.5.

Рис. 6.6. Рис. 6.7.

z

Рис. 6.8. Рис. 6.9.

двущелевая линия (рис.6.8). В коротковолновом диапазоне (вплоть до светового) используются диэлектрические волноводы (рис.6.9), на рабочих часто-

Рис. 6.10.

43

Z

Рис. 6.11.

тах которого на границе диэлектрика имеет место полное внутреннее отражение волн.

К открытым относятся и лучевые ВВ: зеркальный ВВ (рис. 6.10), линзовая линия (рис.6.11).

На рис.6.12 показана экранированная двухпроводная линия – «закрытая» система. Естественное ее развитие – коаксиальная линия (рис.6.13), весьма широко распространенная. Дальнейшее развитие ВВ большой мощности – полые ВВ.

Рис. 6.12. Рис. 6.13.

На рис.6.14 изображен ВВ круглого сечения, на рис.6.15 – прямоуголь-

ного.

Рис. 6.14. Рис. 6.15.

Находят применение и волноводы специального сечения: эллиптические (рис.6.16), ребристые: П – (рис. 6.17) и Н – образного сечения (рис.6.18).

Рис. 6.16. Рис. 6.17.

44

h

Рис. 6.18. Рис. 6.19.

В СВЧ электронных приборах с черенковским излучением (лампы бегущей и обратной волн) используются замедляющие системы.

На рис.6.19 изображена широко применяемая в приборах средней мощности спиральная замедляющая система. Ее замедление можно оценить

распространения основной пространственной гармоники вдоль оси системы Z, c – скорость электромагнитных волн в пустоте. В мощных приборах используются системы типа гофрированных или диафрагмированных волноводов.

Такие же системы используются и в ускорителях заряженных частиц.

6.2. Постановка и схема решения волноводных задач (регулярные ВВ)

ВВ будем называть регулярным в случае, когда конфигурация поперечного сечения ВВ S и свойства заполняющей ВВ среды εa, µa не за-

висят от координаты Z, отождествляемой с осью волновода, т.е.

s , ε&a, µ&a ≠ f (Z ) , но может быть εa ,µa = f (q1,q2 ), где q1, q2 – обобщен-

ные координаты в S .

Как указывалось выше, все поля в регулярных волноводах могут быть представлены как суперпозиция волн ТМ (Е) и ТЕ (Н). В свою очередь, ТМ

или Е – волны определяются функцией Пzl , ТЕ или Н – функцией Пzm . Таким образом, совокупность Пzl , Пzm - полностью определяет волны в ВВ.

Введем следующие условия и упрощения.

1. Рассматриваем собственные волны ВВ, которые существуют вне области, занятой источниками, т.е. в волновых уравнениях для Пzl, m Pcm = 0 и

Jcm = 0 .

2.Стенки волновода можно считать идеально проводящими, т.е. на них справедливы ГУ (5.42) и (5.45).

3.Электромагнитные процессы гармонические, т.е. можно использовать метод комплексных амплитуд.

45

При перечисленных условиях волноводные задачи сводятся к следующим краевым задачам для Пzl, m .

Воспользуемся условием регулярности волновода: +Z и -Z направления равноправны, а постоянная распространения волн вдоль Z (Г) постоянна. То-

гда представим искомые решения для П&zl,m в форме

Здесь A&l,m - комплексная амплитуда волны, ψ l,m (q1,q2 ) - функция се-

чения или мембранная функция, Г – постоянная распространения; верхний знак соответствует попутной (относительно z) волне, нижний – встречной. Решение записано в обобщенно – цилиндрической системе координат q1, q2, Z.

Представим

Учитывая структуру решения (6.4), сокращаем в (6.5) общие множите-

ли A&l,mem jΓZ . В результате исходная трехмерная краевая задача (6.1)..(6.3) редуцируется к двухмерной:

46

Здесь l - контур поперечного сечения волновода.

Поставленная краевая задача (6.6)..(6.8) известна как задача Штурма-

Лиувилля. Ее содержание можно сформулировать так: найти значения 2 , при которых существует нетривиальные (т.е. ненулевые в данном случае) решения (6.6) при ГУ первого рода (6.7) или ГУ второго рода (6.8) на контуре сечения волновода l. Значение v , при которых имеются нетривиальные

решения задачи Штурма-Лиувилля называются собственными значениями, а отвечающие им функции ψv (q1,q2 ) называются собственными функциями.

Каждому собственному значению v соответствует одна собственная функция ψv . Если это не так, то такой случай называется вырожденным. Собственные значения v можно расположить в виде бесконечного упорядоченного ряда:

0 < 1 < 2 <... < v <...

Собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля обладают рядом специальных свойств. Остановимся на наиболее важных из них.

1. v – действительные числа. Для доказательства этого воспользуемся первой теоремой Грина:

Положим Ф =ψ =ψvl,m , причем в соответствии с (6.6) имеет место равенство

2ψvl,m + v2ψvl,m = 0 .

Умножая это равенство скалярно на ψvl,m , получаем

Учтем также, что в связи с ГУ (6.7) или (6.8) имеем

47

S

Из полученного результата (6.12) непосредственно следует исходное утверждение: справа стоит вещественное, строго положительное число, следовательно, и v - действительное число.

2. Собственные функции ψv (q1,q2 ) взаимно ортогональны на S (l). Докажем это. Пусть известны две собственные функции ψi и ψj, отвечающие собственным значениям i2 и 2j , причем i2 ≠ 2j . Запишем уравнение (6.6)

сначала для ψi, затем для ψj. Первое уравнение умножим скалярно на ψj, второе – на ψi и из первого результата вычтем второй. В результате получим

48

3. Собственные функции ψve,m (q1, q2 ) составляют полную на S (l) систему функций, т.е. нельзя найти такую новую функцию ϕ (q1, q2 ), которая была бы ортогональна на S (l) всем функциям ψ . Это означает, что любая функция ϕ (q1, q2 ) может быть представлена на S (l) в виде разложения

вбазисе {ψv (q1, q2 )}.

6.3.Общие свойства электрических (Е) волн

врегулярных волноводах

Весь набор Е-волн определяется системой решений {П& zve } краевой задачи (6.1), (6.2). Т.е. для любой конкретной задачи

v=1

Краевая задача для ψv2 , v2 сформулирована в предыдущем разделе. Рассмотрим компоненты полей Е-волн:

Hr&v = jωε&arot (Zr0 П&zve )

Продольная составляющая есть только у электрического поля Е-волны:

Получим некоторые следствия записанных формул

49

1. Составим скалярное произведение (Er&vt , Hr&vt ):

Таким образом, Er&vt Hr&vt . Но как следует из (6.15), Er&vt определяется градиентом собственной функции ψve , иначе говоря, графически поле Er&vt

правило графического построения полей волны типа Е волновода: 1) ψ e (q , q ) является мембранной функцией E ;

2)силовые линии Errtv являются линиями градиентаz ψve (q1, q2 );

3)силовые линии Htv являются линиями уровня ψve (q1, q2 ).

2.Введем и рассчитаем волновое сопротивление Wve для волн типа Е:v

характеристиками εa, µa. Наиболее просто записывается Wve , когда k& - дейст-

В этом случае, учитывая, что v - действительная величина, можно ввести

одно из важнейших понятий в теории ВВ – критическую длину волны v-го типа волн:

50