Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Предмет:
Электромагнитные поля и волны
Файл:
Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
Скачиваний:
262
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
4.84 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Из (11.2) следует:

Гv =

lπ

, l = 0,1,2,3,... Поскольку Гv = kv2

− χv2 , а

d

 

 

 

 

kv = 2π fv εa µa , получаем следующую формулу для резонансной частоты

fv =

1

l 2

 

χ

 

2

(11.3)

εa µa

 

+

 

v

.

2

d

 

π

 

 

Здесь χv - собственное значение соответствующей краевой задачи, отвечающее волне с индексом v.

Теперь можно записать:

 

r&

 

 

&

r0

π lZ

 

 

 

 

r&

 

 

 

&

r 0

 

π lZ

 

 

 

Evt = −2 jA0 Evt siп

 

 

d

 

, Hvt

= 2A0 Hvt cos

d

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

jω t

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Ame

 

 

 

 

, действительные выражения Evt

и Hvt

 

Учитывая, что A0

 

 

 

 

можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

r

(q

 

 

,q

 

 

)siпπ lZ siпω t,

 

 

 

E

vt

= Re E&

vt

= 2A E0

1

2

 

 

 

 

 

 

 

m

vt

 

 

 

 

 

 

d

 

 

(11.4)

 

r

 

 

r

 

= 2A

r

 

(q

 

 

,q

 

)cos π lZ cosω t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

vt

= Re H&

vt

H 0

 

1

2

 

 

 

 

 

 

m

vt

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализируя (11.4), можно сделать следующие выводы:

Λv ( Λv -

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Evt

и Hvt колебания резонатора смещены пространственно на

длина волны в волноводе);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) по времени Evt

r

 

смещены на Τv

(Τv

 

 

 

 

и Hvt

 

- период колебания);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

в) усредненная за период продольная составляющая S0TvZv = 0 .

Формулы (11.4) при известном распределении полей бегущих волн позволяют синтезировать структуру соответствующего колебания с продольным индексом l. Однако для Е-колебаний с l = 0 процедура построения структуры полей с помощью (11.4) очевидным образом затруднена.

11.3 Расчет полей в резонаторах с помощью потенциалов Герца

Для расчета полей собственных колебаний резонаторов, представляющих собой закороченные отрезки регулярных волноводов, удобно воспользо-

195

ваться, как и в случае регулярных волноводов, скалярными потенциалами Герца Π& ez, m . Для краткости далее значок z опустим. Имея в виду конфигурацию, представленную на рис. 11.6 и полагая стенки резонатора идеально проводящими, поставим краевую задачу для Πe, m следующим образом:

 

2 &

e, m

+ k

2 & e, m

= 0, k

2

=ω

2

εa µa

(11.5)

Π

 

Π

 

 

 

Πe (Sбок )= 0,

∂Πe

 

 

 

 

 

= 0

 

 

(11.6)

 

 

 

∂Z

 

Z =0, d

 

 

∂Πm

(Sбок )= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πm

 

Z =0, d = 0

 

 

(11.7)

 

 

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим далее наиболее типичные случаи.

11.3.1Прямоугольный резонатор

Вэтом случае задача (11.5)...(11.7) трансформируется к (рис. 11.7):

 

 

Рис. 11.7.

2Πe, m + k 2Πe, m = 0

(11.8)

Πe = 0 при x=0, a; y=0, b,

 

∂Πe

= 0 при z=0, d.

(11.9)

∂z

 

 

∂Πm

= 0 при x=0, a;

 

∂x

 

 

 

∂Πm

= 0 при y=0, b,

(11.10)

∂y

 

 

Πm = 0 при z=0, d.

Решая задачу как и ранее методом разделения переменных, получаем для Е-колебаний

196

& e

&e

 

mπ x

sin

 

nπ y

cos

lπ z

,

(11.11)

Π v

= Av sin

a

 

a

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =1,2... ,

n =1,2... ,

l = 0,1,2... ,

 

 

 

 

 

 

kv2 = kx2 + k y2 + kz2 , kx

 

=

mπ

, k y

=

nπ

, kz =

lπ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

b

 

d

Учитывая, что kv = 2π fv εa µa , имеем для v-ой собственной частоты fv :

fv =

 

1

 

m

2

n 2

+

l

2

 

2

εa µa

 

 

+

 

, ν = m n l.

 

 

a

 

b

 

d

 

 

Для Н-колебаний находим

 

 

 

 

 

& m

 

&m

 

mπ x

 

cos

 

nπ y

sin

eπ z

,

Π v

= Av cos

 

a

 

a

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fv =

 

1

 

m

2

n 2

+

l

2

 

2

εa µa

 

 

+

 

,

 

 

 

a

 

b

 

d

 

 

m = 0,1,2... ,

n = 0,1,2... , l =1,2... .

 

(11.12)

(11.13)

(11.14)

Компоненты полей для Е-колебаний могут быть рассчитаны по форму-

лам

r

r

 

 

 

 

&

e

 

&e

 

2

& e

 

 

∂Π v

 

Ev

= Z0 Kv

Π v

+ grad

∂z

 

,

 

r

 

 

r

 

 

 

H&ve =

jωvεa rot(Z0

Π& ve ).

 

 

Для Н-колебаний компоненты полей выражаются как

r

 

r

 

 

 

 

&

m

 

&

e

 

2

& m

 

 

∂Π v

 

Hv

= Z

0 Kv

Π v

+ grad

∂z

 

,

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

E&ve = − jωvεa rot(Z0

Π& vm ).

 

(11.15)

(11.16)

На рис. 11.8 изображены колебания H101, E110, H111 в прямоугольном резонаторе

197

Рис. 11.8.

11.3.2.Цилиндрический резонатор

Вэтом случае задача (11.5)...(11.7) записывается в следующей форме

(рис. 11.9):

2 & e, m

+ k

2

&

e, m

= 0

(11.17)

Π

 

Π

 

Рис. 11.9.

 

 

 

 

&

e

 

 

 

 

 

 

 

& e

(a)= 0,

 

∂Π

 

 

Z =0, d = 0,

&

e

(0)≠ ∞

 

Π

 

∂Z

 

Π

 

(11.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

m

 

 

 

& m

 

&

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Π

 

 

 

 

(0)≠ ∞.

 

 

 

 

a = 0,

Π

Z =0, d = 0, Π

 

(11.19)

∂r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π& е,т(ϕ + n 2π )= Π& е,т(ϕ)

Решение задачи (11.17), (11.18) (Е-колебания) дает следующий результат:

&

e

&

e

νni

 

π lz

(11.20)

Πv

= Av

J n

a

r cos nϕ cos

d

 

 

 

 

 

 

 

f e =

 

1

 

ν

 

 

 

 

v

2

εa µa

 

π

 

 

 

 

 

l =

2

l

2

 

ni

+

 

, n = 0,1,2,... , i =1,2,... ,

(11.21)

 

d

 

a

 

 

0,1,2,... ,

ν = n i l.

 

Здесь Jn - функция Бесселя 1-го рода n-го порядка, νni – i-й корень этой функции (Jn(νn)=0).

Для Н-колебаний, решая краевую задачу (11.17), (11.19), находим

198

&

m

&

 

m

 

µni

 

 

 

 

 

π lz

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

r cosnϕ sin

 

,

 

(11.22)

 

Π

 

= A

 

 

a

d

 

 

 

v

 

v

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fvm =

 

1

 

 

 

 

µ

ni

 

2

l 2

,

n = 0, 1, 2,... ,

i =1, 2,... ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

(11.23)

 

εaµa

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

πa

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 1,

2,... ,

ν = n i l.

 

 

Здесь µni – i-ый корень производной Jn (x), т.е. Jn′ (µni )= 0 .

Используя (11.15) и (11.20), запишем компоненты полей для колебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&e

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eni l , опуская амплитуду Av

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E&Z

 

ν

ni

 

2

 

 

 

 

 

 

ν

ni

 

 

 

 

 

 

π lz

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

Jn

 

 

 

r cos nϕ cos

 

 

 

 

,

 

 

(11.24)

 

a

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π l

 

ν

ni

 

 

 

 

 

ν

ni

 

 

 

 

 

 

π lz

 

E&r

= −

 

 

 

 

 

 

 

Jn′

 

 

r cos nϕsin

 

 

 

,

 

 

 

 

 

a

 

a

 

d

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E&ϕ

π l

 

n

 

ν

 

 

 

r

 

 

π lz

,

 

=

 

 

d

 

 

 

 

 

Jn

 

 

 

ni

 

sin nϕsin

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H& r

= − j

k

v

 

n

 

 

 

ν

ni

 

 

 

 

 

 

 

πlz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J n

 

 

 

r sin nϕ cos

 

 

 

 

,

 

 

W 0

 

r

 

 

a

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H&ϕ = − j

k

v

 

ν

ni

 

Jn′

 

ν

ni

 

 

 

 

 

 

nlz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r cos nϕ cos

 

 

 

 

.

 

W 0

 

 

 

 

 

a

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, используя (11.16) и (11.22), получаем в случае Hnil колебаний

H& z

H&r

=µnia

=πd

2

 

µ

 

 

π lz

,

 

Jn

 

ni r cos nϕsin

d

 

 

a

 

 

lµni Jn′ µni r cos nϕs cosπa a

(11.25)

lz ,

d

H&

 

π l n

 

µ

 

 

sin

nϕ cos

π lz

,

ϕ = −

 

Jn

 

ni r

d

 

 

d r

 

a

 

 

 

 

199

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности