даемого негармоническими электрическими и магнитными токами источников.

В заключение заметим, что полученные уравнения возбуждения справедливы, строго говоря, только в случае, когда граничные поверхности коак-

сиального волновода не имеют изломов, т.е. ∂∂bz и ∂∂ϕb не имеют разрывов.

Практически, однако, они могут использоваться в этом случае, если при численном интегрировании уравнений обходить точки разрыва производных путем соответствующего выбора шага интегрирования.

8.7. Уравнения возбуждения нерегулярных замедляющих систем

Поставим задачу следующим образом. Требуется найти решение уравнений Максвелла для гармонических процессов

при граничных условиях импедансного типа

Hτ

Здесь координата z соответствует направлению оси замедляющей системы, поперечные координаты (в общем случае криволинейные) обозначим

q1 , q2.

Будем считать, что контур поперечного сечения замедляющей системы не зависит от z и её нерегулярность обусловлена только зависимостью от z импеданса стенок (или эквивалентных им боковых поверхностей, на которых задан Z&(z)).

106

r r

Функции ES , H S удовлетворяют граничным условиям (8.66) в каждом сечении z' и являются решениями однородных уравнений (8.65) для регулярной системы с Z& = Z&(z′) при всех z (соответственно и S (z′)= Const в экви-

валентной регулярной системе). Система функций ErS ортогональна в ка-

H S

ждом сечении z′, как и всякая система собственных волн регулярного волновода, т.е.

Поскольку, однако, S = S (z)≠ Const , поля (8.67) не удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла и система уравнений для них имеет вид

rotHrS = jωε&a ErS +ψrSe , rotErS = − jωµ&a HrS −ψrSm ,

где

Таким образом, ψrSe , ψrSm - чисто поперечные вектора, что существенно

в последующем выводе уравнений возбуждения.

Разделим все вектора на поперечные и продольные и запишем разложения для поперечных составляющих Et , Ht в виде

Ert = ∑(C&S (z)ErSt + C&−S (z)E−St ),

S

Hrt = ∑(C&S (z)HrSt + C&−S (z)H −St ).

S

Тогда нетрудно показать, что разложение полного поля, удовлетворяющего (8.65), должно быть записано в следующей форме (при доказатель-

стве используется тот факт, что ψrSml =ψrSel = 0 ):

107

Система (8.71) представляет собой совершенно общую форму уравнений возбуждения для произвольной нерегулярной замедляющей системы.

Заметим, что (8.71) нетрудно видоизменить на случай, когда выделяет-

8.8. Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением.

108

Теория и приложения

Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением весьма широко используются как в различных устройствах СВЧ и антенной технике, так и в приборах СВЧ и КВЧ с пространственно - развитыми ленточными электронными потоками: ЛБВ, ЛОВО- и М-типов, оротронах, убитронах и других типах лазеров на свободных электронах.

В разделе 8.4 изложена теория возбуждения продольно - азимутально - нерегулярных волноводов. В ее основе лежит операция отображения внутренней поверхности нерегулярного волновода на регулярный круговой цилиндр единичного радиуса. Соответственно используются цилиндрические координаты r,ϕ, z . В случае нерегулярных волноводов с прямоугольным се-

чением этой теорией не только неудобно пользоваться из-за несоответствия естественных для прямоугольного волновода декартовых координат x, y, z с принятым в теории цилиндрическими, но и, строго говоря, невозможно, поскольку в угловых точках прямоугольного сечения имеет место разрыв производных ∂b(z, ϕ)/ ∂ϕ (b(z, ϕ) - радиус внутреннего контура волновода в

координатах r,ϕ, z).

Ниже развита строгая теория возбуждения произвольно – нерегулярных волноводов с прямоугольным поперечным сечением, основанная на операции отображения нерегулярной внутренней поверхности волновода на регулярный цилиндр с прямоугольным сечением и использовании прямоугольной системы координат. Приведены примеры расчета ЛБВ-О, заграждающего фильтра, а также дисперсионных характеристик периодического волновода на основе предложенной теории.

Преобразование координат. Рассмотрим (Рис. 8.1) произвольно (по х и

y

z

y

x

S1

S1 S2

Рис.8.1.

у) нерегулярный прямоугольный волновод (x, y, z – компоненты исходной прямоугольной системы координат). На (Рис.8.2, а) изображено начальное поперечное сечение волновода z=0. Система координат выбрана таким обра-

109

Рис.8.2.

зом, что ее начало (точка x=y=z=0) соответствует центру поперечного сечения. В текущем поперечном сечении z нерегулярного волновода (Рис.8.2, б) это не так: в общем случае Dxp(z)≠-Dxm(z), Dyp(z)≠-Dym(z). Задача состоит в определении поля, возбуждаемого в волноводе источниками, заданными плотностью стороннего электрического тока

δr = xr0δx (x, y, z,t)+ yr0δ y (x, y, z,t)+ zr0δz (x, y, z,t)

и плотностью стороннего магнитного тока

Искомое поле должно удовлетворять граничным условиям на боковых стенках волновода S1,2 (потерями в стенках пренебрегаем, σ → ∞ )

( nr1,2 - внешняя нормаль на вертикальных и горизонтальных стенках волно-

вода).

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом преобразования координат, позволяющим преобразовать граничную задачу (8.72) (Рис. 8.1, Рис.8.2, б) к элементарной (Рис.8.2, в): контур поперечного сечения симметричен относительно z и не зависит от z. Введем следующие преобразования координат:

110

q(z) = (Dyp (z) − Dym (z)) / 2α, h = (Dyp (z) + Dym (z)) / 2, α = Dyo / Dxo.

При таком преобразовании в новых переменных внутренняя граничная поверхность волновода регулярна (Рис.8.2, в):

Учитывая обратное преобразование (8.74), для радиуса-вектора точки во внутренней области в новой системе координат u,v, z имеем

Взаимная система векторов ar1, ar2 , ar3 находится следующим образом:

ar1 = ar2 V×a3 , ar2 = ar3V×a1 , ar3 = a1 V×a2 ,

V = a1(a2 ×a3 )= a2 (a3 ×a1 )= a3 (a1 ×a2 )= aq .

Производя указанные действия, имеем

ar1 = a1 (xr0 − zr0 (uaz + bz )),

ar2 = q1 (yr0 − zr0 (vqz + hz )),

111

Используя далее свойство ортогональности основной и взаимной системы векторов ari ari = δij и умножая скалярно уравнения (8.76), (8.77) на ar1, ar2 , ar3 , получаем контравариантные проекции уравнений в форме

Проекционные соотношения для амплитуд связанных волн нерегуляр-

ного волновода. Прежде чем переходить к решению задачи (8.78), (8.79), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.78) электростати-

ческую часть поля источников, содержащую разрыв первой производной E1 ,

и магнитостатическую, содержащую разрыв H 1 . При этом динамическая задача имеет вид

Фe, Фм – соответственно электрический и магнитный потенциалы источников.

113

Существенно, что Еr1 , Н1 - непрерывные на границе источников векторы и операция почленного дифференцирования представляющих их в решении рядов (rotE1,rotHr1 ) допустима, поскольку эти ряды сходятся равномер-

но.

Остановимся на решении задачи (8.80), (8.81), полагая режим установившимся (периодическим). Представим искомое решение в системе u,v, z в

виде разложения по собственным функциям регулярного волновода следующим образом: