|
|
|
ur |
= Pvσ + PvΣ, а Pvcm = 0. |
В рассматриваемом случае ∫S0v dS |
||||
|
|
|
S |
|
Таким образом, получаем |
|
|||
|
dWv |
+ P |
= 0 . |
|
|
|
|
||
|
dt |
vΠ |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что в соответствии с определение (11.26) PΠv = ωv Wv , при-
Qv
ходим к следующему уравнению для Wv свободных колебаний:
|
dWv |
+ |
ωv W = 0 |
|
|
(11.27) |
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
v |
|
|
|
|
|
|
Qv |
|
|
|
|
||
Из (11.27) имеем W (t)=W |
− |
ωv |
t |
||||
|
|||||||
e |
Qv , где Wv0 - начальное (в момент t=0) |
||||||
|
|
|
v |
v0 |
|
|
|
значение Wv.
Таким образом, энергия свободных колебаний убывает во времени экс-
поненциально с постоянной затухания по времени α = ωv .
Qv
Примем во внимание то обстоятельство, что Wv - квадратичная относительно Ev, Hv функция:
Wv = 12 ∫{µa Hv2 + εa Ev2 }dVp
VP
По этой причине следует полагать, что амплитуды Ev, Hv свободных
|
|
|
|
|
|
|
− |
ωvt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Qv . Это позволяет ввести понятие |
||
колебаний изменяются во времени как e |
|||||||||
о собственной комплексной частоте свободных колебаний: |
|||||||||
r |
r |
|
|
|
r |
r |
(r)e jω vt , |
||
E&v |
= Ev0 (r)e jω vt , H& v |
= H v0 |
|||||||
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
- комплексная собственная частота v-го вида колеба- |
|||||
2Q |
|
||||||||
где ωv = |
ωv 1 + |
|
|
||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
||
ний.
Вернемся к определению полной добротности Qv колебаний резонатора. Представим PvΣ=PvH+PvД, где PvH - мощность, излучаемая во внешние цепи (нагрузку), PvД - мощность дифракционных потерь самого резонатора. Тогда в соответствии с (11.26) имеем
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
, |
(11.28) |
|
Q |
Q |
Q |
Q |
Q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
|
vcp |
|
vσ |
|
vД |
|
vH |
|
|
201
где: µσ - магнитная проницаемость стенок, σ - их удельная проводимость.
Подставляя (11.32) в (11.31), имеем
|
|
|
1 |
µ f π |
r& |
r& |
r& |
1 |
µ f π |
∫ Hvm2 τ |
|
Pσ v = − |
|
||||||||||
2 |
σσv |
∫(Hvn − Hv ) |
Hv*dS = |
2 |
σσv |
dS . (11.33) |
|||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
S |
|
Здесь Hvmτ - амплитуда касательной составляющей магнитной напряженности на стенке.
Используя (11.30) и (11.33), получаем
|
|
ωvWv = |
|
|
|
|
∫Hvm2 dV |
|
|
|
∫Hvm2 dVp |
|
|
Q |
= |
ωv µa |
π |
VP |
= |
2 µa VP |
, |
(11.34) |
|||||
vσ |
|
P |
µ |
σ |
f |
2 |
|
δ 0 µ |
σ |
2 |
|
|
|
|
|
σ v |
|
v |
|
∫Hvτ mdS |
|
|
∫Hvτ mdS |
|
|
||
|
|
|
|
σ |
|
S P |
|
|
|
S P |
|
|
|
−1
где: δ 0 = (π fv µσσ ) 2 - глубина проникновения (по ослаблению в е раз) поля
в стенку, δ 0 = ∆ fv− 12 [Гц]. для идеально гладкой стенки ∆=66 мм для меди,
62 мм для серебра, 127 мм для латуни.
Структура формулы для собственной добротности (11.34) указывает на то, что чем меньше область на стенках, занятая магнитным полем данного ν - го колебания, тем выше добротность. Поэтому увеличить собственную добротность (и существенно) можно, «оттеснив» магнитное поле данного колебания от стенки либо поместив вблизи их диэлектрики с достаточно высоким εa, либо за счет специальной конфигурации поверхности стенок (запирающие четвертьволновые канавки).
Приведем вычисленные по формуле (11.34) омические добротности некоторых колебаний в резонаторах простейших форм с гладкими стенками.
1. H101 колебание в прямоугольном резонаторе
Qvσ = |
µa abd (a2 + d 2 ) |
|
δ 0µσ [ad (a2 + d 2 )+ 2b(a3 + d 3 )]. |
||
2. E110 колебание в прямоугольном резонаторе |
||
Qvσ = |
µa abd (a2 + d 2 ) |
|
δ 0µσ [ad (a2 + d 2 )+ 2b(a3 + d 3 )]. |
||
3. E010 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе |
||
Qvσ = |
µa a d |
|
|
. |
|
µσδ 0 (d + a) |
||
203
4. H011 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе
Qvσ = |
|
|
|
|
|
|
|
µab d |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
δ 0 |
µσ (2b − d ) |
|
|
+ d |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
µ |
01 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
π b |
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
204