1.1. Интегральная формулировка УМ

Первое УМ – обобщение закона Ампера, в соответствии с которым

rot H =δ .

В первом же УМ

r rot Hr =δr + ∂∂Dt ,

дополнительный член справа ∂∂Dt именуется плотностью тока смещения.

Для перехода к интегральной форме записи первого УМ воспользуемся теоремой Стокса для некоторой поверхности S, опирающейся на контур l. Проинтегрируем обе части уравнения по S:

Второе УМ – обобщение закона электромагнитной индукции в том смысле, что имеется в виду справедливость этого закона для любого (не обязательно проводящего) контура l и любой среды. Интегральная форма этого уравнения получается из дифференциальной тем же путем, что и первое

где Фм – магнитный поток через поверхность S. Полная производная в правой части подразумевает, что S может зависеть от t (меняется во времени).

Третье уравнение Максвелла является обобщением уравнения ГауссаКулона на случай произвольной среды. Применяя интегрирование по V с границей S к обеим частям уравнения и используя теорему ОстроградскогоГаусса к левой части, получим

6

q – полный заряд, содержащийся внутри S.

Четвертое уравнение Максвелла утверждает отсутствие магнитных зарядов и одновременно постулирует его справедливость для любой среды. Те же действия, как и в предыдущем случае, дают интегральную форму этого уравнения:

1.2.Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

Центральным постулатом теории Максвелла является закон сохранения заряда. Полагается, что сумма электрических зарядов (положительных и отрицательных) в мировом пространстве постоянна.

Заряды не возникают и не исчезают (т.е. могут возникать или исчезать одновременно равные количества положительных и отрицательных зарядов, например, при ионизации, рекомбинации, аннигиляции и т.д.). Причиной изменения величины заряда в данном объеме V является перемещение зарядов, т.е. электрический ток через ограничивающую этот объем поверхность S.

Иначе говоря, можно утверждать для V с границей S:

Применим в левой части теорему Остроградского-Гаусса и положим, что V не изменяется во времени, т.е. V≠V(t). При этом получим

7

Поскольку V произволен, последнее равенство возможно только при выполнении условия

Последнее условие называется уравнением непрерывности и является выражением закона сохранения заряда.

1.3. Физическое содержание первого УМ

Рассмотрим вначале закон Ампера, установленный для стационарных токов:

Применяяr к обеим частям уравнения (1.8) операцию div и учитывая, что div rot H = 0 , получаем

divδr = 0.

Для стационарных процессов, когда накопления зарядов нет и ∂∂ρt = 0,

этот результат не противоречит уравнению непрерывности.

Ситуация, однако, меняется в электромагнитных процессах, когда заве-

домо ∂∂ρt ≠ 0 и закон Ампера противоречит уравнению непрерывности.

Теперь проделаем ту же операцию с первым УМ. Тогда получим

Считая систему отсчета неподвижной, во втором члене уравнения (1.9)

поменяем местами операции ∂∂t и div :

divδr= −∂∂t div Dr.

8

Но в соответствии с третьим УМ div D = ρ. Поэтому получаем divδr = −∂∂ρt - уравнение непрерывности.

Таким образом, смысл введенной Максвеллом плотности тока смещения, дополняющей в законе Ампера плотность электрического тока, становится понятным: эта величина необходимо возникает, если принять закон сохранения заряда.

С физической точки зрения существование этой величины приводит к возможности существования ЭМП. Действительно, теперь наряду с электро-

буждение переменных электрического и магнитного полей и образует электромагнитный процесс ЭМП.

Физическое содержание второго, третьего и четвертого уравнений

Максвелла указывалось выше и не требует дополнительных пояснений. Вернемся к формальной стороне системы УМ – ее полноты.

Меняем порядок дифференцирования в первом члене и используем уравнение непрерывности. Тогда получим

∂∂t (div Dr − ρ)= 0.

Если ∂∂t ≠ 0 (чисто переменные во времени процессы), то мы получаем

третье УМ: div D = ρ. Таким образом, для чисто переменных процессов третье УМ не независимое, т.к. является следствием первого УМ. Точно так

( ε0 , µ0 - соответственно, диэлектрическая и магнитная проницаемости пустоты), а ток проводимости δ = 0 (электронные конвенционные токи удобно

9

ных зарядов или переориентация электрических диполей элементарных частиц, что приводит к поляризации в среде, которая характеризуется вектором

поляризации среды P , который в общем случае (наличие внутренних полей)

не коллинеарен E . Точно также под действием магнитного поля H возникает преимущественная ориентация магнитных диполей, т.е. происходитr на-

магничивание среды, характеризуемое вектором намагничивания J. По оп-

Однако существует класс сред, называемых киральными (хиральными, чиральнымиr r r r –r chiral), в которых имеют место более общие связи типа

D(E, H ), B(H , E). Такие среды могут быть естественными (например, био-

логические – их особые оптические свойства открыты Пастером еще в 1848 г.) или искусственными – композитными. На примере последних проиллюстрируем свойства киральных сред. Пусть в изотропном диэлектрическом наполнителе равномерно расположены упорядоченно (бианизатропная среда) или стохастически (биизотропная среда) медные спиральки с размерами, зна-

чительно меньшими рабочей длины волны – рис.1.1. а, б.

12

Механизм образования киральной поляризации под действием внешне-

го магнитного поля H иллюстрирует рис.1.2. Переменное магнитное поле H (рис. 1.2а) индуцирует в соответствии законом электромагнитной индукции Фарадея ЭДС Эi в каждом из витков спиральки (рис. 1.2бr). В результате

вдоль длины спиральки образуется электрическое поле Ei , которое эквива-

На рис.1.3. иллюстрируется процесс возникновения киральнойr намагниченности. За счет действия внешнего электрического поля E (рис. 1.3а) в прово-

дящей спиральке возникают токи iϕ (рис. 1.3б), образующие вокруг спираль- r

ки магнитное поле Hi , аналогичное полю магнитного диполя (рис. 1.3в). В

Таким образом, в киральных средах следует записывать материальные уравнения в виде

13

Уравнения Друде-Борна-Федорова дают эти связи в случае биизотропных сред (изотропных киральных сред) в виде

где β - коэффицент киральности.

Резко возросший в последнее время интерес к киральным средам связан, с одной стороны, с биологическими исследованиями влияния СВЧ излучений и, с другой стороны, с военными технологиями в связи с созданием «невидимых» бомбардировщиков типа «Стелс», Б-2.

14