Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

Здесь - вектор-оператор типа

= Xr0 ∂∂x +Yr0 ∂∂y + Zr0 ∂∂z ,

стрелки сверху указывают вектор, на который действует .

Составимr баланс энергии. Для этого первое УМ умножим на ( − E ),

второе на H и сложим, используя затем доказанное векторное тождество. При этом получим

Перейдем к интегральной формулировке полученного уравнения, интегрируя левую и правую части по объему V с граничной поверхностью S и используя в левой части теорему Остроградского-Гаусса:

В записанном уравнении нам известен смысл только последних двух членов справа – это мощность сторонних источников и омических потерь в объеме V. Для того чтобы установить физический смысл остальных членов, рассмотрим два следующих предельных случая.

Первый случай.

Пусть имеется объем V, в котором

1) Рсm= 0,

21

2)V изолирован от rвнешнегоr пространства непрозрачной S, так что на внешней стороне S ∫[E, H ]nrdS = 0 .

s

Таким образом, удельная энергия электрического поля из УМ определяется как

Аналогичным путем находим формулу удельной энергии магнитного

поля:

Второй случай:

1) Pст ≠ 0 ;

22

2)процесс установился, т.е. dWd t = 0 ;

3)PП6 = 0;

4)S прозрачна для ЭМП.

Пойнтинга. Этот вектор указывает величину плотности потока энергии и направление распространения энергии ЭМП.

Возвращаясь к исходному уравнению баланса энергии ЭМП, имеем

Этот закон сохранения энергии для ЭМП носит название теоремы Умо- ва-Пойнтинга.

В дифференциальной форме он выражается в виде

Найдем среднее за период Т значение величин:

lМ

24

Vr1(ω t)Vr2 (ω t)T = 12 Re(Vr&1Vr&2* )= 12 Re(Vr&1*Vr&2 ),

В дальнейшем будем пользоваться комплексными векторами

Er&, Dr&, Hr& , Br& .

Обратимся к вычислению диэлектрических и магнитных потерь в комплексной форме.

Диэлектрические потери

В этом случае вектор D запаздывает относительно E на угол диэлектрических потерь ∆Е:

Индекс «1» здесь поставлен затем, чтобы выделить диэлектрические потери из общих электрических потерь, куда входят и джоулевы.

Магнитные потери

r

В этом случае вектор B запаздывает относительно H на угол магнитных потерь ∆Н:

Таким образом, в комплексной форме УМ сводятся к первым двум и записываются в следующей форме:

26

Обозначим

С учетом этого обозначения УМ в комплексной форме приобретают

вид

4.2. Теорема о комплексной мощности

Составим баланс энергии в комплексной форме. Для этого умножим

первое комплексно сопряженное УМ на (− Er&), второе – на Hr& * и сложим. В результате получим

div[Er&,Hr&*]=−jω{µ&a Hm2 −ε&a* Em2 }− Er&δr&cm* =

= − jω{µ'a Hm2 −ε'a Em2 }−ω{µ"a Hm2 + ε"a Em2 }−δr&cm* Er& . (4.10)

Определим среднее за период Т величины:

27

Учитывая перечисленное, баланс энергии в дифференциальной форме

можно записать в виде

div Sr&0 + рПТ + 2 jω{wMT − wэТ}= pcm .

В интегральной форме баланс энергии имеет вид s∫Sr&0dSr + PT + 2 jω {W TM −W Tэ}= Pcm .

Разделяя действительную и мнимую части уравнения, получаем теорему об активной мощности :

Re s∫Sr&0dSr + PTП = Pa ,

и теорему о реактивной мощности :

Jms∫Sr&0dSr + 2ω {W TM −W Tэ}= Pr .

Теорему об активной мощности можно более подробно записать так :

Смысл теоремы об активной мощности : активная мощность Ра , развиваемая в объеме V, расходуется на потери в V и активную мощность излучения через граничную поверхность S.

Для выяснения смысла теоремы о реактивной мощности рассмотрим случай, когда поток реактивной мощности через граничную поверхность S отсутствует. Тогда

2ω {W TM −W Tэ}= Pr

Если частота источника ω соответствует одной из резонансных частот объема V −ωoi , W TM =W Тэ и реактивная мощность Рr=0.

При ω < ωoi W TM > W Tэ и нужен сторонний накопитель электрической

энергии, которым становится источник питания данного объема (причем обмен энергии происходит дважды за период). Таким образом, реактивная мощность Рr количественно описывает колебания энергии между источником и нагрузкой при ω ≠ωoi .

28

ко функции источников поля, поскольку токи проводимости сами по себе не создают ρпров . Докажем это.

Всоответствии с уравнением непрерывности

∂ρ∂провt = −divδrпров = −σ divEr = −εσa ρпров .

Впоследнем приравнивании учтено (5.3) при условии ρстор = 0 . Таким образом, для ρпров имеем следующее уравнение:

ние ρпров . Таким образом, в установившемся режиме (t → ∞) ρпров = 0. Поэтому ρпров ≠ 0 только в присутствии сторонних источников, тогда в уравне-

нии (5.6) появляется ненулевая величина − σ ρ стор.

εа

Получим волновое уравнение для вектора Н . С этой целью применим к обеим частям уравнения (5.1) операцию rot:

Далее воспользуемся уравнениями (5.2), (5.4), а также тождествомr

rot rot Hr = grad div Hr − 2 H . При этом получим, учитывая, что δ =σ E +δcm

Левые части волновых уравнений для вектора E (5.5) и вектора Н (5.7) идентичны. Это свидетельствует о том, что в пространстве, свободном от ис-

точников (т.е. когда правые части (5.5) и (5.6) равны нулю) вектора E и Н имеют одинаковый волновой характер. Как следует из теории волновых

уравнений, коэффициент при вторых производных по времени равен Vф−2 (Vф

- фазовая скорость волнового процесса в среде). Таким образом, фазовая скорость волнового электромагнитного процесса в свободном пространстве

30