Подставляя эти выражения в (12.15), получаем уравнения для потенциалов φe и φm

Задача (12.16) имеет известные решения и на ней мы будем останавливаться.

Обратимся к расчету только соленоидальных полей E′, H ′, которые в дальнейшем для упрощения будем записывать без штрихов.

12.3 Уравнение возбуждения резонатора

екционным методом Галеркина. Заменим исходную систему (12.2) эквивалентной ей системой проекционных равенств

∫(rotHr& − jωεa Er& −δre )Er&*p dV = 0,

Vp

Непосредственно подставляя (12.17) в (12.18), однако, нельзя: ряды (12.17) сходятся вблизи S неравномерно ввиду различия граничных условий (12.3) и (12.5) и поэтому дифференциальные операторы rot к этим рядам неприменимы. Фактически с помощью рядов (12.17) ищется обобщенное решение краевой задачи (12.2), (12.3): граничные условия (12.3) удовлетворяются в среднем (А.С. Ильинский, Г.Я. Слепян. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. Изд. Моск. университета, 1983). Для того, чтобы обойти эту трудность, сделаем следующие преобразования в правых частях (12.18):

209

Таким образом, дифференциальные операции над рядами (12.17) исключаются, и мы приходим к следующей системе линейных алгебраических

уравнений для определения A&p , B&p (используется свойство ортогональности

(12.14)):

Введем величину собственной омической добротности p-колебания резонатора Qp:

210

S

Аналогично определим «взаимную» добротность колебаний p и s как

Учитывая, что волновое сопротивление металлической стенки при достаточно большой проводимости σ может быть представлено как

Теперь система уравнений связанных вынужденных колебаний (12.20) принимает вид

j(ω2p −ω2 )B&p − ∑ω ωp Qsp−1(1 + j)B&s = (ωVpm +ωp Vpe )N −p1, (12.22)

В случае, когда ω ≈ ωp (условия резонанса) и при очень малых Qsp−1 (хорошая проводимость стенок) можно считать все B&s пренебрежимо малыми

211

по сравнению с B&p . Тогда система (12.22) редуцируется к одному уравнению для колебания с s=p. Ee решение имеет вид

Полученный результат (12.23) и его следствия существенно отличаются от приведенных в известных (В.В. Никольский, Т.И. Никольская. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Наука, 1989; Б.З. Каценеленбаум. Высокочастотная электродинамика. -М.: Наука, 1966; Г.Т. Марков, Б.М. Петров, Г.П. Грудинская. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: «Сов. радио», 1979; В.И. Вольман, -М. Связь, 1971, частично Л.А. Вайнштейн. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988) и др. учебниках.

Дело в том, что в имеющихся учебниках задача возбуждения резонатора ставится некорректно как задача возбуждения идеального резонатора (т.е. в отсутствие потерь). При этом нарушаются условия теоремы единственности. Полученный результат «обобщается» путем замены вещественной собственной частоты исходной самосопряженной краевой задачи на комплексную собственную частоту (см. главу XI) реального колебания с потерями.

Естественно, при такой замене комплексный характер импеданса стенок игнорируется и смещение частоты собственного колебания по отношению к идеальному (при нулевом импедансе) случаю за счет реактивной части импеданса оказывается не учтенным, как и другие сопутствующие эффекты.

Полученные нами уравнения возбуждения (12.20) и формулы (12.23) соответствуют исходной задаче (12.2), (12.3) и относятся к случаю возбуждения автономного (ненагруженного) резонатора. Такие случаи встречаются в технике СВЧ: холостые резонаторы в группирователях клистронов, гироклистронов, гироконов, гиротонов, параметрических усилителей и т.д.; стабилизирующие резонаторы электронных и твердотельных генераторов, резонаторы специальных фильтров СВЧ и т.д. Однако в общем случае резонаторы связаны с внешней нагрузкой, т.е. нагружены. Нагрузку в принципе можно учесть в интегралах Ssp в (12.19) как излучение через часть поверхности сте-

212