Волновой КПД (ηB ) определяется через поток энергии, образуемый

попутной компонентой поля через текущее поперечное сечение волновода и выражается как

численных расчетов.

8.6. Уравнения возбуждения произвольно-нерегулярного коаксиального волновода

В разделе 8.4 cформулированы уравнения возбуждения произвольнонерегулярного полого волновода (односвязная область поперечного сечения). Большой интерес, однако, представляют коаксиальные волноводы, особенно в области миллиметровых и субмиллиметровых волн, где на их основе создаются приборы и устройства, обладающие уникальными характеристиками. Последнее связано с аномальной дисперсией волн Hni (n>>1), позволяющей в нерегулярных коаксиальных волноводах эффективно осуществить селекцию паразитных колебаний и волн в полосе порядка октавы, что открывает путь к созданию сверхразмерных одномодовых коаксиальных структур с рабочей

волной Hni .

Строгой теории нерегулярных коаксиальных структур, однако, не существует; оценки свойств таких структур строятся на базе теории регулярной коаксиальной линии (например, дисперсионного уравнения для такой линии). Двусвязность области поперечного сечения коаксиальной структуры (наличие двух границ в отличие от нерегулярного полого волновода) требует при использовании наиболее естественного для рассматриваемой задачи метода преобразования координат введения новой функции отображения. В данном разделе определена такая функция и на ее основе сформулирована строгая теория произвольно (по z и ϕ) нерегулярной коаксиальной структуры, включая общий случай, когда в ней действуют сторонние негармонические источники.

Рассмотрим произвольно (по z и ϕ) нерегулярный коаксиальный волновод ( r,ϕ, z - компоненты исходной цилиндрической системы координат).

Поверхности внутреннего и внешнего проводников S1,S2 задаются соответственно как b1(ϕ, z) и b2 (ϕ, z) . Задача состоит в определении поля, возбуж-

99

удовлетворять граничному условию на S1, S2 (потерями в стенках пренебрегаем, σ → ∞ ; изломы S1, S2 отсутствуют):

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом преобразования координат, позволяющим преобразовать граничную задачу (8.49) к элементарной. Введем следующую функцию преобразования:

r = ρb −b + b1 , для радиуса-вектора точки во внутренней области волновода в новой системе координат ρ,ϕ, z имеем

Определим основную систему векторов косоугольной системы ρ,ϕ, z :

ar1 = arρ = ∂rr = b(xr0 cosϕ + yr0 sinϕ) = brr0 ,

∂ρ

Взаимная система векторов ar1,ar2 ,ar3 определяется следующим обра-

V = a1[a2,a3] = a2[a3,a1] = a3[a1,a2 ] = b(ρb −b + b1) .

Производя указанные действия, имеем

100

ar3 = zr0 .

Найдем теперь элементы метрического тензора

g13 = ar1ar3 = −b1[(ρ −1) ∂∂bz + ∂∂bz1 ] = g31 ,

g23 = ar2ar3 = g32 = 0 .

Воспользуемся теперь определением оператора rot в косоугольной системе ρ,ϕ, z :

Применим (8.52) и найдем ковариантные компоненты уравнений Максвелла в системе ρ,ϕ, z . Однако при записи компонент введем вспомога-

101

тельные векторы Er′, Hr′,δr′,δ ′M таким образом, чтобы для них компоненты rot имели формальную запись, тождественную выражению их в ортогональной цилиндрической системе координат ρ,ϕ, z . Тогда преобразованные контравариантныеrкомпонентыr уравнений Максвелла для вспомогательных векторов Er′, Hr′,δ ′,δ ′M в системе переменных ρ,ϕ, z , которые рассматриваются теперь как ортогональные, имеют вид

вспомогательные следующим образом (на примере E):

Er = g11 (g11E′ρ + g12ρEϕ′ + g13E′z ) ,

Er = g22 (g21E′ρ + g22ρEϕ′ + g23E′z ) ,

Er = g33 (g31E′ρ + g32ρEϕ′ + g33E′z ) .

g33 = ar3ar3 =1+[(ρ −1) ∂∂bz + ∂∂bz1 ]2 .

В результате проведенных преобразований мы приходим к следующей переформулировке исходной краевой задачи возбуждения волн в произвольно нерегулярном коаксиальном волноводе (8.49): найти решения системы

102

Прежде чем переходить к решению (8.53), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.53) электростатическую часть поля источ-

ников, содержащую разрыв первой производной E′ и магнитостатическую, содержащую разрыв H′.

ры и операция почленного дифференцирования представляющих их в реше-

нии рядов (rot E′, H′) допустима, поскольку эти ряды сходятся равномерно. Остановимся на решении задачи (8.55),(8.56), полагая режим устано-

вившимся и периодическим. Представим:

Er1t = Re∑Er&tme jmωt , Er1z = Re∑Er&zme jmωt , m m

i=1 n=−N

Здесь и далее индекс «t» обозначает поперечную составляющую соответствующих компонент

103

Собственные числа χniм, χnie определяются следующими дисперсионными уравнениями:

01

=1 2∫π 2∫π α∫g)δr1er−enie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

104

01

=1 2∫π 2∫π α∫g)δr1ar3ϕ−nie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мhr−enie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мhr−мnie− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 1

01

=−π1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мψ−ni zr0e− jmωt ρd ρdϕ ,

01

=1 2∫π 2∫π ∫1 g)δr1ρr0dρdϕdωt ,

π0 0 0

01

=− 1 2∫π 2∫π α∫g)δr1мϕr0dρdϕdωt .

π0 0 1

Уравнения (8.57)-(8.64) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую комплексные амплитуды связанных волн

A&mnie (z), A&mniм (z), B&mnie (z), B&mniм (z),C&mni (z), H&nmi (z), A&mT (z), B&mT (z) , т.е. (8.57)-(8.64)

представляет собой систему уравнений возбуждения динамических полей коаксиального волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуж-

105