На рис.10.8,а приведены дисперсионные кривые волнового сопротивления и длины в СЩЛ с достаточно удаленными стенками экрана, а также результаты, рассчитанные по формулам (10.22) и (10.23). Влияние толщины металлических полуплоскостей на частотные характеристики волнового сопротивления и длины волны в СЩЛ показано на рис.10.8,б. Для узких щелей, как видно из кривых рис.10.8,б, необходимо учитывать толщину металлических полуплоскостей. Для сравнения на рис.10.8,б приведена кривая волнового сопротивления СЩЛ при нулевой толщине проводников.

10.5. Несимметричная щелевая линия

Несимметричная щелевая линия (НЩЛ) образуется металлическими полуплоскостями, нанесенными с разных сторон диэлектрической подлож-

ки. В зависимости от взаимного расположения полуплоскостей относительно друг друга возможны различные модификации НЩЛ: линия с перекрытием либо без перекрытия (рис.10.9, а, б), а также с нулевым перекрытием, когда края полуплоскостей находятся друг против друга.

Рис. 10.9.

В НЩЛ отсутствует кострукторско-технологическая особенность, связанная с реализацией узких проводников и щелей. Это позволяет выполнять НЩЛ с практически любой величиной волновых сопротивлений. Ограничения накладываются лишь наличием излучения энергии (открытая НЩЛ) со стороны больших волновых сопротивлений (большое расстояние между полуплоскостями), а со стороны малых – возможностью возникновения волн волноводного типа и поверхностных волн. Кроме того, НЩЛ обладает боль-

167

шой широкополосностью и простой конструктивной реализацией СВЧ элементов на ее основе в комбинации с НПЛ и СЩЛ, что во многом упрощает включение в нее (последовательно или параллельно) полупроводниковых приборов.

Поле НЩЛ описывается путем формулировки и решения интегрального уравнения с использованием метода Галеркина. Однако для простого и наглядного в физическом плане описания НЩЛ можно воспользоваться полуэмпирической моделью, полученной в результате обработки большого числа экспериментальных данных.

Результатом аппроксимации экспериментальных данных для эффективной диэлектрической проницаемости НЩЛ является формула:

Волновое сопротивление, рассчитанное методом конформных отображений для ограничений ширины проводников и сопоставленное с экспериментальными данными, в результате аппроксимации приводит к следующей зависимости:

(10.28)

где k=0,515+0,5th(W/d-0,75). Сравнение расчетных данных с экспериментальными дает максимальную погрешность порядка 8% при S<0 и до 1% при

S>0.

На рис. 10.10 приведены экспериментальные данные (точки) по изучению НЩЛ, выполненной на подложке из поликора (ε = 9,8). Измерения проводились в длинноволновой области сантиметрового диапазона; результаты расчета по формулам (10.27) и (10.28) представлены кривой 1. Для сравнения

Рис. 10.10.

на этом же рисунке приведены результаты расчета НПЛ (кривая 2) и СЩЛ (кривая 3).

168

Анализ приведенных на рис. 10.10 результатов показывает, что НЩЛ обладает рядом интересных свойств. Во-первых, в случае перекрытия проводников (S>0) волновое сопротивление НЩЛ практически совпадает с НПЛ. Полное количественное совпадение наблюдается при величине перекрытия порядка полуволны и более. В случае без перекрытия проводников (S<0) НЩЛ по своим характеристикам в некоторой степени похожа на СЩЛ.

10.6. Модифицированный метод неортогональных рядов для расчета характеристик полосковых линий передачи.

10.6.1Общая формулировка метода

Вданном параграфе рассматривается модифицированный вариант метода неортогональных рядов, в котором системы неортогональных функций вводятся как решения семейств специальных краевых задач для области более простой формы, чем рассматриваемая. Эти семейства выбираются так, чтобы получаемые системы функций также обладали всеми необходимыми свойствами (полнота, линейная независимость), но учитывали геометрию и характер краевых условий. Они сложнее по форме и методике построения, но лучше передают особенности искомого решения. В связи с этим высокая точность достигается использованием небольшого их числа. В ряде задач для коэффициентов разложения по таким системам функций получаются системы линейных алгебраических уравнений 2-го рода, для которых гарантирована сходимость процесса редукции и вычислительная устойчивость. Таким образом, использование этих систем функций для разложения искомого решения эквивалентно процедуре регуляризации.

Описываемый подход реализуется на примере задачи математического моделирования процессов распространения электромагнитных волн в линиях передачи для интегральных схем диапазона сверхвысоких частот. Построение базисных функций выполняется аналитически при помощи метода задачи Римана-Гильберта.

Сформулируем метод сначала в общем виде. Для этого рассмотрим резонатор сложной формы в виде объема V (рис. 10.11 а, б), внутри которого будем решать уравнение Гельмгольца

169

где: f(Q) - заданная функция.

Конфигурации резонаторов сложных форм (а, б) и соответствующая им ключевая задача для волнового трансформатора (в).

Мысленно удалим поверхность Sα и продолжим отрезки регулярных волноводных каналов до бесконечности. При этом придем к волноводному трансформатору (рис. 10.11 в), для каждого из каналов которого известны

полные системы собственных волн ϕm(α)e± jΓm(α )Zα зависят только от попереч-

Рис. 10.11.

ных для соответствующего канала координат), α=1, 2, ..., N; m=1, 2,... Введем систему функций {Φmβ }, каждая из которых представляет собой решение за-

дачи о возбуждении рассматриваемого волноводного трансформатора m-ой волной β-го канала. Внутри канала с номером α

где Rn(α) - постоянные коэффициенты, δαβ - символ Кронекера,

(В задаче 2 можно перейти, полагая p=0, к уравнению Лапласа. При этом в

(10.32) будет Γn(α)→jχn(α)).

170

Систему функций {Φmβ }будем использовать для разложения искомого

поля ϕ. Фактическое построение Φmβ , в частности вычисления Rnm(α) для мно-

гих практически интересных задач можно выполнить аналитически (при помощи метода Винера-Хопфа, переходом к задаче Римана и т.д.). в более сложных случаях для этой цели можно применить численно-аналитические методы.

Для первой задачи искомое поле в канале с номером α обозначим символом ϕα и представим разложением по функциям (10.32):

Для второй задачи разложения (10.33) модифицируется следующим образом:

∞N

ϕ= Φ0 + ∑ ∑Cm(β )Φmβ .

m=1 β =1

где Φ0 - частное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничному условию (10.31) на поверхности S0.

Вычисление неизвестных коэффициентов Cm(β) производится при помощи граничных условий на поверхностях Sα. Будем использовать для этого метод моментов (для определенности рассмотрим его на примере задачи (1), заключающийся в переходе от условий (10.30) при zα=lα к цепочке соотношений ортогональности

ские числа p отыскиваются из условий существования нетривиального решения системы (10.35).

Справедливо утверждение (теорема эквивалентности), что собственные значения задачи 1 и характеристические числа системы (10.35) совпадают, а собственные функции задачи 1 и нетривиальные решения системы (10.35)

связаны соотношением (10.33).

Следует отметить, что как изложенная выше схема решения, так и теорема эквивалентности остаются в силе и для других типов граничных условий: Неймана, 3-го рода и т.д. Однако в последнем случае, если коэффициент в граничном условии комплексный, рассматриваемая краевая задача стано-

171

вится несамосопряженной. Это может потребовать добавления в (10.33) присоединенных волн. Аналогичные схемы можно построить и в случае краевых задач для системы уравнений Максвелла.

Для обоснования различных вычислительных схем на основе функций (10.32) существенны вопросы о полноте и линейной независимости таких функциональных систем. Рассмотрим эти свойства.

Пусть все lα таковы, что некоторое действительное число p не является собственным значением задачи 1 в области V. Тогда система функций {Φmβ (p)}линейно независима на S' и полна в L2(S').

Свойство полноты будет доказано, если из условий

вытекает ϕ=0 на S'. Подставим в (10.36) разложение (10.33) и получим, что набор равенств (10.36) эквивалентен системе линейных алгебраических уравнений (символ” ” означает комплексное сопряжение).

α =1n=1

относительно

dn(α) = ∫ϕϕn(α)dS

Sα

Видно, что в условиях сделанного утверждения система (10.37) имеет только тривиальное решение: все dn(α)=0. При этом следует учесть, что матрицы систем (10.37) и (10.35) являются эрмитово-сопряженными, а область V

нерезонансна. Но из равенства dn(α)=0 следует ϕ=0 на S', т.к. системы {ϕn(α)}, n=1, 2, ... , для каждого α полны в соответствующих пространствах L2(Sα).

Для доказательства линейной независимости приравняем к нулю некоторое разложение по функциям Φmβ на S':

β =1m=1

Далее прейдем от (10.38) к эквивалентной цепочке соотношений ортогональ-

~

ности вида (10.34). Тогда для Cm(β ) получим вновь систему (10.35), которая,

как показано выше, имеет лишь тривиальное решение.

Аналогично можно рассмотреть также уравнение (10.29) со смешанными граничными условиями на S (условие Дирихле на S0, условие Неймана на S'). В предложении, что p не является собственным значением данной

независима и полна в L2(S').

172

10.6.2 Расчет физических параметров полосковых линий передачи

Конфигурация рассматриваемой модели линии передачи показана на рис. 10.12а. Она является достаточно общей и позволяет исследовать ряд типов линий, широко применяемых в технике.

В квази -Т- приближении задача сводится к вычислению потенциала ϕ (x, y),

Наибольший прикладной интерес представляет погонная емкость линии, определяемая соотношением

174

строим семейство решений краевых задач для уравнения Лапласа Um(X, Z), m=1, 2,... , при граничных условиях

C(pm) получить из граничных условий (10.41) системы парных сумматорных уравнений вида

175

Кроме того, введем семейство функций Vm(X, Z) удовлетворяющих уравнению Лапласа, граничным условиям (10.41), но с условиями на бесконечности вида

p =0

а коэффициенты B(pm) вычисляются аналогично и даются выражением

B(pm) =ε C(pm) −δmp (1 −ε). Функции (10.42) и (10.44) будут использованы для

разложения искомого потенциала ϕ . В соответствии с полученными в п. 10.6.1 результатами, они обладают требуемыми свойствами полноты.

Для построения алгоритма решения разобьем исследуемую область на две частичные подобласти:

m=0

+ βm(2)Vm(2)(a − x,−(z + ∆1 + ∆2 ))];

176

αm(j ), βm(j ) - неизвестные коэффициенты; Um(j ), Vm(j ) - функции (10.42), (10.44)

при d=d1, ε=ε1 для j=1 и d=d2, ε=ε2 для j=2; V(X, Z) - решение уравнения Лапласа, убывающее при z → ± ∞, удовлетворяющее условию

Для нахождения коэффициентов αm(1), βm(1) следует наложить условия

непрерывности ϕ и z-компоненты D при z= –∆1, а также граничные условия для ϕ при z=b1, z= –b2. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений вида

ξmn11 =δmn + Cn(m) e−2γ nb1 ,

ξmn12 = (δmn + Bn(m) )e−2γ nb1 ,

ξmn31 = (δmn + Cn(m) )e−2γ n ∆1 ,

ξmn32 = δmn + Bn(m) e−2γ n ∆1 ,

ξ33 = −δ + C(nm) e−γ n (∆1 +∆2 ),

mn mn

177

Cn(m), Bn(m) означают их принадлежность, соответственно, первой и второй

частичным областям). Коэффициенты ν1,2 в правой части (10.46) даются равенствами

ν1=–An e–2γnb1, ν2=–An e–2γn∆1,

Система (10.46) является Фредгольмовой, что следует из асимптотических оценок Cn(m), Bn(m), An. Для нее строго обоснован метод редукции.

В качестве простейшего примера рассмотрим экранированную микрополосковую линию (рис. 10.13а).

Предельный переход к экранированной микрополосковой линии от более общей конфигурации 10.12а можно выполнить различными способами,

например: ε1→ ε2, d2→ a, либо ε1→ ε2, ∆1+∆2→ b2, либо ∆2→ 0, d2→ a (рис. 10.13б, в, г).

На рис.10.14 приведены результаты расчета погонной емкости микро-

Рис. 10.13.

полосковой линии методом неортогональных рядов (эти результаты нанесены кружками). Для сравнения взяты данные (сплошные линии), полученные методом полуобращения с использованием задачи Римана-Гильберта. На рисунке:

178

В табл. 10.1 приведены примеры характеристик полосковых линий, часто применяемых на практике

179