Аналогичные преобразования приводят к следующей форме второго уравнения Максвелла:

Hz = H′z − H′ρ ρb ∂∂bz .

В новой системе координат ρ, ϕ, z внутренняя граница произвольнонерегулярного волновода b(ϕ, z) преобразуется в границу регулярного ци-

линдра с внутренней границей ρ=1. Таким образом, граничные условия для уравнений (8.30), (8.31) в новой системе координат в случае идеальной проводимости стенок приобретают простейший вид:

8.4. Уравнение возбуждения произвольно-нерегулярного волновода сторонними токами

Прежде чем переходить к решению (8.30),(8.31),(8.33) целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.30),(8.31)r электростатическую

часть поля, содержащую разрыв первой производной E′ и магнитостатическую, содержащую разрыв H′ .

При этом динамическая задача имеет вид:

93

ernie = ρr0νni Jn′ (νni ρ)e jnϕ +ϕr0 j ρn Jn (νni ρ)e jnϕ ,

erniм = ρr0 jnρ Jn (µni ρ)e jnϕ −ϕr0µni Jn′ (µni ρ)e jnϕ , hrnie = −ρr0 jnρ Jn (νni ρ)e jnϕ +ϕr0νni Jn′ (νni ρ)e jnϕ ,

hrniМ = ρr0µni Jn′ (µni ρ)e jnϕ +ϕr0 jnρ Jn (µni ρ)e jnϕ , Jn (νni ) = 0, Jn′(µni ) = 0.

Амплитуды A&mnie (z), A&mniм (z), B&mnie (z), B&mniм (z),C&mni (z), H&mni (z)

94

определим из следующих проекционных равенств, эквивалентных (8.34):

=1 2∫π 2∫π 1∫ gˆ δr1er−Мni e− jmωt ρdρdϕdωt ,

π0 0 0

Правые части уравнений возбуждения (8.36)-(8.41) (интегралы возбуждения) записаны в общем случае, когда координаты источников могут меняться во времени, т.е. ρ=ρ(t), ϕ=ϕ(t), z=z(t). Причем, эти зависимости могут содержать и негармонические составляющие.

95

Уравнения (8.36)-(8.41) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую искомые коэффициенты разложения

A&mnie (z), A&mniМ (z),B&mnie (z),B&mniМ (z),C&mni (z),H& mni (z).

Иначе говоря, уравнения (8.36)-(8.41) представляют собой систему уравнений возбуждения динамических полей волновода произвольной нерегулярной конфигурации, возбуждаемого негармоническими электрическими

имагнитными токами источников.

8.5.Самосогласованные нелинейные уравнения лампы бегущей волны О - типа

сзамедляющей системой в виде продольно-нерегулярного волновода

Введем в решение общей задачи возбуждения нерегулярного волновода следующие условия и упрощения.

1. Поскольку в ЛБВ-0 имеются только электрические источники, плотность магнитного тока δ µ = 0 .

2.В релятивистских ЛБВ-0 используются продольно-нерегулярные волноводы, поэтому радиус волновода b=b(z).

3.Система источников осесимметрична и азимутальная составляющая

δϕ = 0 . Поэтому плотность электрического тока δ = rr0δr (r, z) + zr0δz (r, z) .

Несимметричные типы волн не возбуждаются.

4. Из-за отсутствия δϕ и благодаря тому, что волны E0i и H0i не связаны, волны H0i не возбуждаются.

5.Будем считать, что b(z) не приближается к критическому для E02 . Поэтому возбуждение высших E0i (i≥2) волн можно не рассматривать.

6.Остановимся на кинематическом (т.е. без учета пространственного заряда) приближении (что в определенной степени по уровню точности соответствует приближению п.5).

7.Будем рассматривать гармонический режим, т.е. m=1.

C учетом перечисленных условий искомые решения для компонент поля можно записать в виде:

H&ϕ′ = B&(z)J1(ν01ρ), E&z′ = CJ& 0 (ν01ρ), E&ρ′ = AjJ& 1(ν01ρ) .

Соответственно система уравнений возбуждения, полученная в п.8.4, приводится к следующей:

96

Используем далее закон сохранения заряда и метод крупных частиц. Введем также следующие безразмерные переменные:

T = kz = ωc z; B = kb; βi = vi / c, E& = C&ωηc0 ;

Тогда уравнения возбуждения (8.42)-(8.44) в пренебрежении толщиной трубки электронного пучка принимают вид