8.2 Поверхностная волна Релея (Rayleigh, 1885)
.
Найдем поверхностную волну в однородном изотропном упругом полупространстве. Решения (236) волновых уравнений вида плоских неоднородных волн и имеют вид:
(237)
(238)
где
и
--- шесть произвольных констант, параметры
и
положительны.
Полное смещение в рассматриваемой поверхностной волне равно:
На смещение
наложены ограничения, обусловленные
граничными условиями на поверхности
полупространства. Согласно условию
равновесия на свободной поверхности:
Поскольку
,
граничные условия имеют вид:
(239)
Решения (238) не зависят от . Поэтому из условия
находим, что
.
Используя (238) , получим:
Поскольку
,
это условие означает, что
следовательно:
Т.о. рассматриваемая
поверхностная волна, формирующаяся в
однородном полупространстве,
поляризована в вертикальной
плоскости (в плосекости нормальной к
свободной границе), проходящей через
направления распространения волны (в
плоскости
).
Такая волна называется поверхностной
волной Рэлея.
Вследствие отмеченной
поляризации в решении (238) остается
четыре произвольных константы:
.
Для определения этих констант имеется
четыре условия (при
):
два
неиспользованных
граничных условия
(239), условия потенциальности
вектора
и условие соленоидальности
вектора
(??):
(240)
(241)
(242)
(243)
Подставляя в эти условия
решения (238), получим однородную систему
алгебраических уравнений относительно
и
.
Коэффициенты этой системы включают в
себя величины:
(а значит и
)---в
результате дифференцирования
и по
,
и
--- в результате дифференцирования
по
.
Приравнивая нулю определитель
однородной системы, получим уравнение,
связывающее
и
.
Его решение определяет зависимость
,
или
,
т.е. дисперсия волны Рэлея. Это уравнение,
называемое дисперсионным уравнением,
имеет вид:
Подставляя сюда
,
получим уравнение для скорости волны
Рэлея:
(244)
Уравнение (244) известно как уравнение Рэлея.
Из (244) видно, что скорость рассматриваемой поверхностной волны не зависит от частоты . Т.е. в однородном изотропной упругом полупространстве волна Рэлея дисперсии не испытывает.
Можно показать, что уравнение
Рэлея (244) имеет решение для любых
физически допустимых значений
и
(напомним, что всегда
).
Причем скорость волны Рэлея
.
Подставляя найденное из
(244) значение
в (238), можно оценить толщину
слоя среды, эффективно захватываемого
колебаниями в волне Рэлея. Согласно
(238) амплитуда колебаний в этой поверхностной
волне экспоненциально затухает с
глубиной. Поэтому толщину
можно оценить как:
Оценки показывают, что
где
--- длина волны Рэлея.
Т.о. волна Рэлея распространяется вдоль поверхности полупространства со скоростью в слое толщиной порядка длины волны. Благодаря этим свойствам волну Рэлея называют поверхностной волной.