6 Термодинамика деформирования.
До сих пор мы рассматривали напряженно-деформированное состояние с сугубо механических позиций. Применим теперь к описанию этого состояния общие для любых систем, в том числе и для сплошной среды, термодинамические принципы.
6.1 Работа при деформации.
Пусть при деформации смещение
точек
изменилось на величину
.
Определим работу, произведенную при
этом силами внутренних напряжений.
Пусть работа на единицу объема
тела равна
.
По определению:
где объемная плотность сил, обусловленных внутренними напряжениями.
Используя для
ее выражение через
согласно (??) и интегрируя по всему
объему, получим:
Рассматривая неограниченную
среду, не деформированную на бесконечности,
устремим поверхность интегрирования
в первом интеграле к бесконечности.
Тогда на ней
и первый интеграл исчезает. (В случае
тела конечного размера, первый интеграл
исчезает за счет зануления
на его свободной поверхности).
Второй интеграл можно преобразовать, используя определение тензора деформаций (??):
Таким образом:
(135)
Выражение (??) определяет
работу
(отнесенную к единице объема) по изменению
внутренними напряжениями тензора
деформаций на величину
.
6.2 Основные термодинамические соотношения.
Будем относить все
термодинамические величины --- внутреннюю
энергию
,
энтропию
и т.д. --- к единице объема тела. В
соответствии с Лагранжевым подходом в
качестве "единицы объема" выберем
единицу объема
недеформированной среды
(т.е. будем относить термодинамические
величины к веществу, заключенному в
единице объема недеформированной
среды).
Баланс энергии для сплошной среды следующий: изменение внутренней энергии тела --- это разность полученного телом количества теплоты и совершенной телолм работы:
Если деформация обратима,
т.е. в каждый момент времени в теле
успевает установиться состояние
теплового равновесия, то
и, с учетом (213) имеем:
(136)
Соотношение (191) является основным в термодинамике деформируемых сред.
Замечание.
В случае равномерного всестороннего сжатия (191) принимает привычный вид. В этом случае:
и
Но
- дилатация, являющаяся относительным
изменением объема. Считая, как мы
договорились, объем недеформированного
эелемента единичным из (191) получаем
прив ычное выражение:
Вводя свободную энергию тела
,
перепишем (191) в виде:
(137)
В выражении (191) независимыми переменными являются энтропия и деформация ( и ) , а в (194) --- температура и деформация. Это означает, что состояние деформированного тела полностью определяется значениями и и и . В случае адиабатическогот или изотермического процессов состояние тела полностью определяется тензором деформаций.
Отметим, что компоненты тензора напряжений можно получить как производную или по :
(138)
(139)
sectionТермодинамика деформсирования
1) Работа
придеформации является работой по
изменению тензора деформаций и выражается
как
.
2) Темодинамическое состояние тела полностью определяется значениями энтропии и тензора деформаций или температуры и тензора деформаций, а для изотермического и адиабатического процессов --- только тензором деформаций.
3) Тензор напряжений может быть определен как производные внутренней или свободной энергии по тензору деформаций.