- •Розповсюдження та тиражування без офіційного дозволу заборонено
- •Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 6.010102 – початкове навчання (3 р.Н.).
- •Робочий навчальний план з математики.
- •Питання до екзамену за і семестр
- •Питання до екзамену за ііі семестр
- •Основна література
- •Додаткова література
- •Методичні посібники
- •Модуль 1: «Множини. Відповідності. Відношення.». Змістовний модуль 1.1. «Множини та операції над ними». План.
- •Література
- •1. Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.
- •2. Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.
- •4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- •Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону .
- •5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- •Малюнок № 1.8. Перетин множин .
- •6. Операції різниці (віднімання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- •7. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
- •Малюнок № 1.18. Доведення закону де Моргана ()'''.
- •8. Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.
- •9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі.
- •Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
- •Модуль 1: «Множини. Відповідності Відношення.». Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.». План.
- •Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
- •4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
- •Розв’язання:
- •Розв’язання:
- •Малюнок № 1.21. Розв’язання задачі 2.
- •Розв’язання:
- •2. Розміщення з повтореннями та без повторень.
- •Доведення:
- •Розв’язання.
- •Доведення.
- •Розв’язання.
- •3. Перестановки з повтореннями та без повторення.
- •Розв’язання.
- •Доведення.
- •Розв’язання.
- •4. Комбiнацiї та їх властивості.
- •Доведення.
- •Розв’язання.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.
- •Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».
- •1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
- •Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.
- •Діаграма № 2.2. Відношення підпорядкування між поняттями.
- •3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
- •Означуване поняття
- •Видова відмінність
- •Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».
- •1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.
- •2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
- •3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.
- •Діаграма № 2.3. Множина істинності та заперечення даного предиката ā(х).
- •4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.
- •4.1. Операція кон'юнкції висловлень.
- •4.2. Операція кон'юнкції предикатів.
- •5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.
- •5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.
- •5.2. Диз'юнкція двох предикатів.
- •6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.
- •6.1. Операція імплікації висловлень.
- •6.2. Операція імплікації предикатів.
- •7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.
- •7.1. Операція еквіваленції висловлень.
- •7.2. Операція еквіваленції предикатів.
- •Діаграма № 2.7. Множина істинності еквіваленції предикатів.
- •Розв’язування:
- •Розв’язання:
- •Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 2.2.
- •Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.3. «Теореми.». План.
- •1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
- •2. Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).
- •Доведення:
- •3. Необхідні та достатні умови.
- •4. Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів л.Ейлера.
- •1. Короткі історичні відомості про виникнення понять натурального числа і нуля.
- •1. Питання № 1 вивчається самостійно за таким планом:
- •2. Різні підходи до побудови теорії цілих невід’ємних чисел.
- •Діаграма № 3.1. Співвідношення між числовими множинами.
- •3. Поняття натурального числа і нуля у теоретико-множинній (кількісній) теорії.
- •Малюнок № 3.1.
- •5. Множина цілих невід’ємних чисел та її властивості.
- •6. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
- •Доведення:
- •Доведення:
- •7. Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.
- •Доведення:
- •Доведення:
- •8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
- •Доведення:
- •Доведення:
- •Доведення:
- •Доведення:
- •10. Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.
- •Доведення:
- •Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.
- •Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.2. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел.». План
- •1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
- •2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.
- •3. Метод математичної індукції.
- •Доведення:
- •Доведення:
- •4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
- •Доведення:
- •Доведення:
- •5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
- •6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
- •7. Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.
- •Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.». План.
- •1. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.
- •2. Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
- •Малюнок № 3.6. Різниця а-b відрізків.
- •3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
- •Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.1. «Системи числення.». План.
- •1. Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
- •2. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
- •Розв’язання:
- •Розв’язання:
- •Розв’язання:
- •Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.2. «Подільність цілих невід’ємних чисел.». План.
- •1. Поняття «відношення подільності» та його властивості.
- •2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.
- •3. Загальна ознака подільності б.Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
- •4. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- •5. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
- •Розв’язання:
- •6. Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (нсд) і найменше спільне кратне (нск), їх властивості.
- •7. Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
- •Розв’язання:
- •8. Ознаки подільності на складені числа.
- •Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- •Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.1. «Цілі числа.». План.
- •1. Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.
- •2. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.
- •Малюнок № 5.1. Зображення точок а(4) і в(-6).
- •Розв’язання:
- •3. Властивості множини цілих чисел.
- •Доведення:
- •4. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
- •Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.2. «Раціональні числа.». План.
- •1. Необхідність розширення множини цілих чисел.
- •2. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.
- •Доведення.
- •3. Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •5. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •6. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
- •8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
- •Доведення.
- •9. Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
- •Розв’язання.
- •10. Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
- •Діаграма № 5.1. Співвідношення між числовими множинами q, z, n.
- •Доведення.
- •Малюнок № 5.2.
- •2. Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.
- •Діаграма № 5.2. Співвідношення між числовими множинами n, z, q, r.
- •3. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •4. Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •5. Множення та ділення додатних дійсних чисел.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •6. Множина дійсних чисел та її властивості.
- •Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за модулем у.
- •Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.1. «Вирази.».
- •1. Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
- •Розв’язання:
- •2. Числові рівності та нерівності, їх властивості.
- •3. Вираз із змінною та його область визначення.
- •4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
- •Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.2. «Рівняння, їх системи і сукупності.».
- •Розв’язання:
- •2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
- •Розв’язання:
- •Доведення:
- •Розв’язання:
- •3. Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
- •Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
- •Малюнок № 6.3.
- •Малюнок № 6.4.
- •4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •5. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
- •Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.3. «Нерівності, їх системи і сукупності.».
- •2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.
- •Доведення.
- •Доведення.
- •3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
- •Розв’язання.
- •Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.4. «Функції.».
- •1. Поняття числової функції, способи їх задання, графік та властивості.
- •2. Пряма пропорційність, її властивості та графік.
- •3. Лінійна функція, її властивості та графік.
- •4. Обернена пропорційність, її властивості та графік.
- •5*. Квадратична функція, її властивості та графік.
- •6*. Операції над функціями та графіками, перетворення графіків.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •Розв’язання.
- •Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- •Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.1. «Геометричні побудови на площині.».
- •1. Короткі історичні відомості про виникнення та розвиток геометрії. Поняття про аксіоматичний метод побудови геометрії та історію його розвитку в геометрії.
- •2. Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
- •Побудова кута, що дорівнює даному (див. Малюнок № 7.1.).
- •Поділ відрізка пополам.
- •Малюнок № 7.2. Поділ кута пополам.
- •Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої (малюнок № 7.4.).
- •Побудова трикутника за трьома сторонами.
- •3. Основні методи геометричних побудов (метод гмт, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).
- •Метод геометричних місць точок.
- •Малюнок № 7.5. Метод симетрії відносно прямої.
- •Метод повороту площини навколо точки.
- •Метод симетрії відносно даної точки.
- •Метод паралельного перенесення.
- •Метод гомотетії.
- •Алгебраїчний метод.
- •4. Побудова правильних многогранників.
- •2. Правильні многогранники та їх види.
- •Доведення:
- •3. Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. Сфера) та їх зображення на площині.
- •Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.3. «Величини та їх вимірювання.».
- •1. Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.
- •2. Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.
- •3. Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Рівновеликі та рівноскладені фігури. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.
- •Малюнок № 7.10.. Квадрати нульового рангу.
- •Малюнок № 7.11. Фігури ф і f.
- •Доведення:
- •4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
- •Малюнок № 7.12.
- •Малюнок № 7.13.
- •Доведення:
- •Малюнок № 7.14.
- •Доведення:
- •Доведення:
- •Малюнок № 7.16.
- •5*. Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.
- •Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.
1. Сформулюйте означення відношення “більше” на множині цілих невід’ємних чисел у кількісній теорії цих чисел.
2. Довести комутативний закон операції додавання у теоретико-множинній теорії.
3. Довести переставний і сполучний закони операції множення у теоретико-множинній теорії.
Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.2. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел.». План
1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
2. Система аксіом Дж.Пеано. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.
3. Метод математичної індукції.
4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
7. Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.
ЛІТЕРАТУРА: [1] – c. 124-140; [2] – с. 193-200; [3] – с. 197-229.
1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
1. Існують різні підходи до побудови математичних теорій. Що вивчає кожна математична теорія? – деяку математичну структуру, тобто деяку множину, елементи якої можуть перебувати в певних відношеннях і мати певні властивості. В чому полягає зміст теорії? – а) в означенні понять і відношень; б) у доведенні властивостей об’єктів даної теорії; в) у доведенні відношень, визначених в цій теорії. Чи можна дати означення всіх понять? – ні, бо кожне означення зводить одне поняття до іншого, вже відомого. А чому не можна довести всі властивості? – бо кожне доведення полягає у виведенні нових властивостей з вже відомих. Отже, ми маємо протиріччя.
Як же в науці розв’язують ці протиріччя? – по-перше, вибирають основні неозначувані об’єкти і відношення; по-друге, формулюють деякі їхні властивості (аксіоми), які приймаються без доведення; по-третє, на основі неозначуваних понять і відношень та аксіом формулюють означення всіх понять і доводять на основі означень та аксіом всі інші твердження теорії. Такий метод побудови теорії одержав назву аксіоматичного.
У чому ж суть аксіоматичного методу побудови математичної теорії? – 1) задається деяка множина М основних об’єктів теорії, що будується; 2) вибирають первісні, неозначувані поняття; 3) вибирають первісні, неозначувані відношення між ними; 4) формулюють твердження, які приймаються без доведення та які називають аксіомами, бо їхня істинність перевірена багатовіковим досвідом людства; 5) формулюють означення всіх нових понять теорії, що будується, використовуючи первісні поняття; 6) формулюють і доводять твердження теорії, що будується, спираючись на означення та аксіоми. Такий метод побудови теорії вважається в математиці одним із найбільш поширених і строгих.
Цей метод з’явився ще до нашої ери, а його відкриття приписують Піфагору (ІІІ ст. до н. е.). Одним із найвідоміших застосувань аксіоматичного методу до побудови математичної теорії є “Начала” Евкліда (ІІІ ст. до н.е.), в яких він здійснив спробу аксіоматичної побудови геометрії. Поворотним етапом у розвитку цього методу стала побудова М.І.Лобачевським (1826 р.) неевклідової геометрії. Подальший розвиток аксіоматичного методу до побудови строгих наукових теорій знайшов своє застосування при побудові як математичних, так і інших наукових теорій різноманітних галузей природознавства. Таким чином, поступово сформувався сучасний підхід до аксіоматичної побудови теорії.
У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи: на першому етапі, який завершився у 3-4ст. до н.е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом; другий етап завершився наприкінці 19 століття створенням Д.Гілбертом, Дж.Пеано та іншими аксіоматичних побудов математичних теорій; на третьому етапі Д.Гілберт та його учні створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований для побудови геометрії, потім знайшов своє застосування в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Він також застосовувався в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка тощо). Наявні спроби його застосування для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, економічні теорії, біологія тощо, але поки що задовільних результатів це не дало.