Доведення:

Доведення теореми буде складатися із двох частин: у першій слід довести достатню умову, а у другій – необхідну умову існування частки. Доведемо достатню умову, яка формулюється так: “якщо ціле невід’ємне число а ділиться націло на натуральне число b, то частка а:b існує”.

За умовою а ділиться націло на b. Це означає: існує таке число с, що bс=а. Отже, с=а:b. Достатню умову доведено.

Доведемо необхідну умову, яка формулюється так: “якщо частка а:b існує, то число а ділиться націло на b”. За умовою частка а:b існує. Це означає, що b(а:b)=а, тобто число а ділиться націло на число b. Необхідну умову доведено. Таким чином, теорему доведено повністю.

Теорема 11 (про єдиність частки): якщо частка від ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b існує, то вона єдина.

Доведення:

Доведення цієї теореми проведемо методом від супротивного так, як ми це робили при доведенні єдиності різниці. Припустимо, що частка не єдина, тобто існує принаймні дві частки. Нехай а:b=с₁ і а:b=с₂, причому с₁с₂. Згідно означення частки маємо а=bс₁ і а=bс₂. Звідси bс₁=bс₂. Отже, с₁=с₂, а це суперечить вибору чисел с₁ і с₂. Ця суперечність дозволяє стверджувати, що наше припущення про не єдиність частки було хибним. Таким чином, якщо частка існує, то вона єдина. Теорему доведено.

10. Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.

10. У процесі практичної діяльності людині чи не частіше доводиться зустрічатися з операцією ділення з остачею, ніж з операцією ділення націло. Саме тому, введемо означення такої операції та покажемо, що вона існує і єдина.

Означення: ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b з остачею, якщо існують такі цілі невід’ємні числа q і r, що виконуються умови: 1) а=bq+r; 2) 0rb.

У наведеному означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а тому слід довести наступну теорему.

Теорема 12: для будь-якого цілого невід’ємного числа а і натурального числа b існує і причому єдина пара цілих невід’ємних чисел q і r таких, що а=bq+r, де 0rb.

Доведення:

Доведення цієї теореми буде складатися із двох частин. У першій частині доведемо існування таких чисел, тобто існування операції ділення з остачею, а у другій – її єдиність. Між числами а і b може існувати лише одне із співвідношень: 1) а<b; 2) а=b; 3) а>b. Якщо а<b, то а=b0+а, де q=0 і r=а. Отже, умови виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а=b, то а=b1+0, де q=1 і r=0. Таким чином, умови також виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а>b, то можливі два випадки: а) а ділиться націло на b; б) а не ділиться націло на b. У першому випадку згідно означення частки існує деяке число q таке, що а=bq, тобто а=bq+0. Таким чином, в усіх розглянутих випадках числа q і r існують.

Розглянемо випадок, коли а не ділиться націло на b. Утворимо послідовність чисел b1, b2, b3,..., bq, b(q+1), ..., bа, ... Серед цих чисел , які діляться націло на b, знайдуться два послідовних числа такі, що bq<а<b(q+1), або bq<а<bq+b. Якщо від усіх частин останньої нерівності відняти bq, то одержимо нерівність 0<а-bq<b. Позначивши а-bq=r, дістанемо: а=bq+r, де 0<r<b. Таким чином, і в цьому випадку числа q і r існують. Отже, існування частки і остачі доведено.

Доведемо, що частка і остача єдині. Припустимо, що існує дві пари чисел q₁, r₁, q₂, r₂ таких, що а=bq₁+r₁, де 0<r₁<b, і а=bq₂+r₂, де 0<r₂<b, q₁q₂ і r₁r₂. Звідси bq₁+r₁=bq₂+r₂. Оскільки r₁r₂., то виберемо для визначеності, що r₁r₂. Тоді b(q₁-q₂)=r₂-r₁. Із того, що вираз b(q₁-q₂) ділиться націло на b, випливає, що і вираз r₂-r₁ ділиться націло на b. Оскільки 0r₂-r₁<b, то вираз r₂-r₁ може ділитися націло на b лише в тому випадку, коли r₂-r₁=0, тобто r₂=r₁. Звідси випливає, що b(q₁-q₂)=0. Оскільки b0, то q₁-q₂=0, тобто q₁=q₂. Таким чином, ми прийшли до суперечностей із вибором чисел q₁, r₁, q₂, r₂. Ця суперечність дозволяє твердити, що припущення про не єдиність частки і остачі було хибним. Отже, теорему доведено повністю.