- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
1.4.12. Трехслойные разностные схемы
Рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа вида:
. (1)
. (2)
начальные условия:
. (3)
. (4)
Согласование начальных и граничных условий:
;
.
Считаем, что введена сетка:
.
Будем применять непосредственную аппроксимацию, так как уравнение с постоянными коэффициентами.
Так как в левой части вторая производная по времени, то понадобится шаблон, содержащий три соседних узла по времени.
. (5)
Непосредственным разложением в ряд Тейлора в окрестности точки до членов порядка О(h4), O(τ4) можно убедиться, что на решении задачи (1-4) погрешность аппроксимации для разностного уравнения (5) есть О(h2+τ2).
Также является очевидным аппроксимация граничных условий (2) и начального (3).
Заслуживает внимания аппроксимация уравнения (4). Использование непосредственной аппроксимации:
.
не позволяет получить порядок аппроксимации больше чем .
Сформулируем задачу для погрешности:
. (*)
. (**)
. (6)
В силу гладкости функции имеет место тождество:
. (7)
С другой стороны, справедливо предельное равенство:
.
Заменим функцию в правой части (7) на , получим:
. (8)
Выполним непосредственную аппроксимацию правой части равенства (8).
. (9)
Подставим (9) в (6):
.
.
Хотелось бы, чтобы невязка обращалась в ноль.
Вместо начального условия (4) будем использовать такой дискретный аналог:
.
Если теперь повторить предыдущие рассуждения, т.е. сформулировать задачу для погрешности, то она будет иметь вид:
.
Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
Исследуем устойчивость схемы уравнения (1) методом гармоник.
.
Будем искать решение в виде:
,
где - мнимая единица, - номер узла по пространству.
.
Подставим (2) в (1), получим:
.
,
так как ,
то получаем:
;
, ;
, .
Рассмотрим случай, когда подкоренное выражение неотрицательно, корни действительны и имеют вид: , тогда по теореме Виета: .
Если , тогда , следовательно, в этом случае схема не устойчива.
Тогда решение ищется в виде:
.
Следовательно, один возможный случай, когда модули корней совпадают, и они комплексные, т.е. подкоренное выражение (дискриминант) неположителен.
.
Достаточным условием выполнения этого неравенства является выполнение ,
то есть .
Условие
- условие Фридрихса– Куранта- Леви.
1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
Возникает идея повысить точность аппроксимации для уравнения теплопроводности до за счет использования трехслойных схем.
Минимальный шаблон, обеспечивающий такую точность включает в себя точки: .
Так как аппроксимация граничных условий очевидна, то займемся разностными аналогами уравнения (1).
. (1)
. (2)
. (3)
Согласование начальных и граничных условий:
.
1) абсолютно не устойчивая схема.
Схема имеет точность .
_______________________________________________________________________
‼ Методом гармоник показать, что данная схема неустойчива.
_______________________________________________________________________
Рассмотрим формальную замену
.
С учетом ее рассмотрим схему вида:
2)
_______________________________________________________________________
‼ Методом гармоник показать, что данная схема неустойчива;
‼ получить оценку ;
‼ построить непрерывный аналог данной схемы сохранив члены имеющие порядок малости .
_______________________________________________________________________