- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
Модуль 1 Основы теории разностных схем
ОГЛАВЛЕНИЕ
МОДУЛЬ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ………………………………..………..1
Комплексная цель модуля……………………………………......……………...1
Введение………………………………………………………………………...1
Сетки и сеточные функции. Вводные понятия…………………………………2
Построение разностных схем………………………………………………… 5
Принцип максимума и следствия из него…………………………………......50
Энергетический метод исследования устойчивости……………………….... 74
Корректность операторно-разностных уравнений………………………… ...91
Введение в метод конечных элементов…………………………………….141 Заключение…………………………………………………………………...191
1.10 Проектное задание………………………………………………………….192
1.11Тест рубежного контроля……………………………………………………199
Основным предметом данного модуля является построение и исследование дискретных моделей для задач математической физики. В качестве дискретных моделей рассматриваются конечно-разностные и конечно-элементные схемы.
Комплексная цель модуля
Изучить современные методы численного решения задач математической физики. Сформировать навыки построения вычислительных алгоритмов для решения базовых задач численного анализа и теоретического исследования основных свойств алгоритма.
Введение
Теория разностных схем представляет один из основных разделов
современной вычислительной математики.
В модуле отмечены основные подходы к построению дискретных аналогов
краевых задач с различными граничными условиями.
Каждый содержательный раздел модуля начинается с общих сведений о методах и способах решаемых в нем задач и заканчивается набором упражнений, закрепляющих знание теории.
В первом разделе даются основные понятия модуля.
Во втором разделе на примере консервативной схемы, построенной интегро-
интерполяционным методом для обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка, исследуются вопросы порядка аппроксимации, устойчивости и
сходимости. Здесь же рассматриваются свойства разностных операторов,
использующиеся в других разделах модуля.
В третьем разделе доказывается принцип максимума для разностных схем,
записанных в канонической форме. Принцип максимума применяется к
исследованию сходимости разностной аппроксимации задачи Дирихле. Приводятся
примеры применения принципа максимума к другим стационарным и
нестационарным задачам.
Четвертый и пятый разделы посвящены исследованию устойчивости и
корректности операторно-разностных уравнений. Разностные схемы определяются
как операторные уравнения с операторами, действующими в евклидовом
пространстве. Условия устойчивости формулируются в виде операторных
неравенств.
В последнем заключительном разделе модуля для построения приближенного
решения применяется метод конечных элементов. Дается общее описание метода и
приводится пример построения и исследования конечно-элементной схемы для
первой краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.