Свойства приближенного решения мнк.

10. Вводные сведения.

Напомним, что нами была построена схема МКЭ для задачи:

(1) ,

(2)

Обобщенная постановка задачи (1), (2) в классе финитных функций записывается в виде:

(3) , .

Ориентируясь на обобщенную постановку (3), введем билинейный функционал;

(4) .

Тогда (3) с учетом (4) запишется:

(5) , где .

Напомним, что ранее был построен базис финитных функций .

Также было показано, что приближенное решение удовлетворяет следующей слабой постановке задачи:

(6) выполняется:

(7) .

Конструктивно равенство (6) с учетом базиса приводит к СЛАУ. Матрица СЛАУ положительно определена и симметрична.

Задачу (1) можно записать в операторном виде:

. Оператор дискретной задачи должен наследовать все свойства непрерывной задачи.

20. Вариационные свойства приближенного решения.

Обобщенную постановку (3), как известно, можно трактовать как задачу на поиск минимума функционала энергии . То есть известно, что решение задачи (3) тогда и только тогда, когда . В случае, когда это элемент на котором достигается , тогда необходимое условие этого выражается уравнением Эйлера.

.

.

, ,

.

, следовательно, выражение, стоящее под интегралом должно обращаться в нуль.

данное выражение эквивалентно выражению (1).

, .

Если функционал определяется поведением функции и ее производной, а функция в свою очередь зависит от одной переменной, то уравнение Эйлера определяет элементы на которых достигается минимум функционала:

.

Аналогичное свойство имеет место для приближенного решения, точнее имеет место следующая лемма.

Лемма 1

Пусть - приближенное решение задачи (1), (2) или в обобщенной постановке задачи (5), введенный функционал на пространстве , . Тогда выполняется тогда и только тогда, когда , где ,

где - приближенное решение (5).

Лемма 2

Пусть точное решение задачи в обобщенной постановке (5), приближенное решение задачи (5). Тогда для имеет место равенство:

(8) .

Доказательство:

Будем использовать тот факт, что квадратичный билинейный функционал.

.

,

,

,

т.к. (5) справедливо для .

Итак, получили .

Неравенство (8) будет использоваться при доказательстве сходимости КЭС.

30. Формулы вложения.

Лемма 1

Пусть и , тогда справедливы равенства:

(9) ,

(10) ,

(11)

Доказательство:

.

Итак,

(12) .

Из последнего неравенства увеличивая до получаем оценку (9).

(13) .

.

Для получения оценки (10) возведем обе части неравенства (12) в квадрат.

.

Проинтегрируем по переменной .

,

.

(14) .

Распишем:

(15) .

Из (15) имеем:

.

§4

Сходимость приближенного решения к точному решению.

Сходимость приближенного решения к точному означает, что

(1) ,

однако более информативным является оценка вида:

(2) .

Предполагаем, что сетка уже построена и определена в и поставлена задача (3).

(3) , .

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1

Пусть и точное решение задачи:

В классической постановке:

(4)

В обобщенной постановке:

(5) ,

(6) ,

Тогда, если , то выполняется неравенство:

(7) , и не зависит от шага сетки.

Доказательство:

(8) .

Идея доказательства эксплуатирует в первую очередь неравенство (8), где вместо выбирается функция , являющаяся кусочно-линейным восполнением точного решения , т.е. , где - базис. Также используются неравенства (10), (11) и (12).

Согласно леммам 1 и 2 §1 “Кусочно-линейные восполнения сеточных функций”, имеем:

(9) .

(10) .

Справедливо:

учитывая (9) и (10) получаем:

(11) .

Напомним, неравенство (11) предыдущего параграфа:

(12)

Преобразуем левую часть полученного неравенства с учетом неравенства (12).

.

Имеем:

(13) .

, требуемая оценка (7) получена.

Оценка (13) которая была компактно записана как (7) означает сходимость построенной схемы в среднем. Опираясь на нее, а также на неравенство (9), (10) предыдущего параграфа можно получить оценку для равномерной сходимости последовательности к . Справедливо следствие.

Следствие

Последовательность приближенных решений сходится равномерно на отрезке при , к точному решению с первым порядком, т.е. справедлива оценка: