1.5. Принцип максимума и следствия из него

1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике

В области требуется найти решение уравнения:

, (1)

если заданы граничные условия:

. (2)

Будем предполагать необходимую гладкость функции правой части и граничных условий.

Рассмотрим частный случай, когда

. (3)

Для задачи (1), (2) при условии (3) справедлив принцип максимума:

. (4)

Максимальное по модулю решение этой задачи достигается на границе.

. (5)

(4) является частным случаем (5), которое является неравенством определяющим, устойчивость задачи (1-3) по граничным условиям.

При построении дискретных аналогов задачи (1), (2), будем стремиться к наследованию свойства (4).

Для аппроксимации задачи (1), (2), область покроем равномерной сеткой с шагами по оси Ох₁ и по оси Ох₂ .

.

Внутренностью сетки будем называть множество точек:

, с

граничными узлами:

.

Будем использовать пятиточечный шаблон, включающий в себя точки:

.

Так как уравнение с постоянными коэффициентами, то будем использовать непосредственную аппроксимацию.

, .

.

Подставим это все в (1), получим.

(6) .

(7) .

В системе n уравнений и n (n = N₁N₂ ) неизвестных, следовательно задача (6), (7) имеет и притом единственное решение (будет показано далее).

Так же будет показано, что решение данной задачи непрерывным образом зависит от граничных условий и правой части (устойчивость по правой части и граничным условиям).

1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений

Запишем (6) предыдущего параграфа в виде:

(1) .

Систему (1) можно записать несколько иначе, если граничные условия (7) учесть в правой части.

Если обратиться к шаблону, задачи, то выделяется две совокупности узлов, т.е. выделяется узел и остальные узлы, которые будем называть окрестностью узла .

Уравнение (1) вместе с граничными условиями является частным случаем уравнения вида:

(2) ;

– центр шаблона,

– окрестность центра шаблона,

Выделим исходное семейство сеточных уравнений.

Коэффициенты, участвующие в уравнении (2) должны удовлетворяют следующим условиям:

1. (5)

Для простоты, будем предполагать, что Р из внутренних узлов сетки.

2. Сетка = является связной относительно используемого шаблона, если:

Опр. Для любых узлов , найдется конечное множество узлов каждый из которых принадлежит сетке , таких, что:

.

Первоначально предполагается, что хотя бы один из узлов имеет не пустую окрестность( не граничный узел).

1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения

0. Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:

(1) ;

(2) .

В предыдущем параграфе была записана в канонической форме:

Напомним, что сеточные уравнения имеют следующий канонический вид:

(3) ;

(4) ..

Сравнивая с (3), получаем:

,

, .

Очевидно, что

(6) .

Разностное условие (4) можно трактовать, как частный случай записи (3) в которой , если , в этом случае .

Возможна и другая трактовка граничного условия (4).

- произвольные положительные числа,

, .

Кроме того, сеточное уравнение (3) в канонической форме может быть записано в виде:

(3′) .

Формально граничные узлы сетки можно определить двумя способами (в случае условия Дирихле):

1. те узлы сетки, значения в которых задано, образуют множество .

2. .