1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на

1. Энергетическое пространство

Пусть - гильбертово пространство сеточных функций и задан оператор А с областью определения и выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. оператор является линейным оператором.

Примерами такого оператора могут быть:

1. будет финитным в , т.е. , тогда он положительно определен и является самосопряженным.

2. , предполагаем, что ,

, для всех

Опр. 1 Энергетического пространства.

Энергетическим пространством называется линейное нормированное пространство сеточных функций в котором скалярное произведение любых двух сеточных функций определяется следующим образом

(1) . Норма в определяется по формуле

(2)

__________________________________________________________

‼ Проверить аксиомы скалярного произведения.

__________________________________________________________

Теорема А.А. Самарского.

Пусть дана двухслойная разностная схема вида:

(3) ;

(4) ;

(5) .

Тогда для равномерной устойчивости схемы (3), (4) по начальным данным с необходимо и достаточно выполнение операторного неравенства:

(6) , т.е. должно выполняться .

Доказательство:

В соответствии с теоремой требуется доказать, что для выполнения неравенств

(7)

необходимо и достаточно выполнение неравенства (6) при условии (5) для схемы (3), (4).

Достаточность.

Перепишем (3) в компактной форме.

Умножим обе части полученного равенства на .

(8) .

Заметим, что

(9) ;

подставим (9) в (8).

(10)

Равенство (10) носит название основного энергетического тождества.

С учетом введенной ранее энергетической нормой (2) последнее равенство (10) перепишется:

(11) - вторая форма основного энергетического тождества.

Опустим первое слагаемое, принимая во внимание (6), а точнее , получим:

(13) , следовательно, .

Поскольку n – любое, то достаточность доказана.

(14) .

Замечание.

Если неравенство (6) нестрогое, то неравенства (12), (13), (14) также будут нестрогими.

Свойство - устойчивости с при этом также выполняется.

Необходимость.

Указание: воспользоваться энергетическим тождеством в форме (11).

Положим в (11) , учтем, что справедливо соотношение , так как

, где может быть любой функцией из .

При n=0 схема имеет вид:

.

Выберем произвольно.

Покажем, что всегда найдется элемент , который удовлетворяет задаче (3), (4). Фактически мы его найдем.

, так как оператор обратим, то есть, , то

(15) , умножим на , найдем требуемую функцию .

.

Таким образом, мы приходим к неравенству для произвольной функции .

, что и означает .

Замечание.

Пусть , т.е. зависит от временного слоя. Тогда выполнение неравенства для любых гарантирует -устойчивость с схемы (3), (4).

Пример 1.

Исследовать устойчивость неявной схемы для уравнения теплопроводности.

(16) ;

(17) ;

(18) .

Граничные условия (18) можно учесть в функции правой части , таким образом, что их можно считать нулевыми, т.е. , .

По теореме 1, из - устойчивости по начальным данным следует - устойчивости по правой части.

Изучение задачи (16)-(18) сводится к изучению - устойчивости, если таковая имеется, по начальным данным.

Запишем соответствующую двухслойную схему.

(19) ;

(20) .

Получим каноническую форму двухслойной схемы.

(21) .

Ранее было показано, что - оператор положительно определен

(22) - самосопряжен.

Используя (22) можно переписать (21) в виде:

(23) .

В канонической форме (23) будет иметь вид: . Получим ее.

,

,

.

Сравнивая с формой (3), видим, что .

Проверим операторное неравенство .

. Поскольку , то последнее неравенство выполняется.

Пример 2.

Исследовать устойчивость. Получить достаточные условия устойчивости для уравнения теплопроводности.

Явная схема для уравнения теплопроводности имеет вид:

(24) ;

(17) ;

(18) .

Проведя аналогичные рассуждения, что и в первой задаче, мы приходим к виду:

(25) , где ,

(26) .

Сравнивая с канонической формой (3), видим, что .

Определим значение шага по времени , гарантирующего выполнение операторного неравенства

То есть надо найти такие для которых выполняется операторное неравенство.

Легко показать, что

(27) .

__________________________________________________________

‼ Доказать самостоятельно (27).

__________________________________________________________

Итак, имеем цепочку , т.е. выполнение неравенства - достаточное условие выполнения неравенства .

, в силу линейности оператора , поскольку, , то , а, следовательно,

(28) .

Ранее было выведено достаточное условие для , тогда получим , что совпадает с результатом, который можно получить методом гармоник.

Выражение (28) показывает, что явная схема приводит к достаточно жестким ограничениям на шаг по времени.

Пусть , тогда и число шагов по времени будет составлять порядка . Желательно не превышать число шагов по времени , так как число может обесценить результат при накоплении ошибок.

Это и есть основной недостаток явных схем, зато преимуществом является ее простота – приводит к диагональным матрицам.

Формально явные схемы допускают любой шаг по времени, однако он не может быть слишком велик.

Далее будет рассмотрено понятие асимптотической устойчивости применительно к уравнению теплопроводности.

При , решение уравнения теплопроводности выходит на так называемый регулярный режим, и его вид определяется собственной функцией и соответствующим ей минимальным собственным значением оператора задачи.

Правильная передача такого поведения дискретной задачи обеспечивается свойством устойчивости асимптотической модели, которая в свою очередь приводит к .