Факторизованные схемы
Пример 1.
Рассмотренная в предыдущем параграфе схема Писмена – Рекфорда после исключения функции имеет вид:
(1) .
Выражение
можно представить в виде произведения
операторов.
Слагаемое
поправляет некорректность задачи.
(2) 
(3) 
.
Такую запись принято называть факторизованной формой записи схемы.
В некоторых случаях удобно сразу перейти к факторизованной записи двухслойной схемы.
.
Операторы
же
должны удовлетворять условиям:
,
,
тогда можно будет применять теорему
1.
Имеется еще одно ограничение: операторы должны быть легко обратимы.
Ограничения на применение факторизованных схем такие же как и для схем переменных направлений.
Замечание.
Формальное обобщение схем переменных направлений на случай трех пространственных координат может приводить, как в схемах Писмена – Рекфорда, к абсолютно неустойчивым схемам.
Стремление уйти от ограничений характерных для схем переменных направлений привело к построению аддитивных схем.
Эти схемы сводят решение многомерных задач к решению цепочки пространственно-одномерных задач.
Рассмотрим
задачу Коши для уравнения теплопроводности
в
при
.
(1) 
,
(2) 
,
,рассмотрим
вспомогательную сетку
наряду с основной.
Рассмотрим
цепочку одномерных задач вида (3)-(8),
:
(3) 
;
(4) 
(5) 
;
(6) 
;
(7) 
;
(8) 
.
Аппроксимация
данной системы проводится
интегро–интерполяционным методом, а
сама система экономично решается
методом прогонки, в результате получается
экономичный метод решения задачи
порядка
операций.
К аппроксимации одномерных задач предъявляются следующие требования:
1). 
,
2). При
этом каждая из правых частей должна
быть равномерно ограничена, т.е.
.
3). Сумма
трех дискретных операторов, являющихся
разностными (дискретными) аналогами
дифференциальных операторов в (3), (5),
(7), должна давать с погрешностью
дискретный аналог задачи (1).
Важно
отметить, что в отличии от схем переменных
направлений, каждая из элементарных
задач не приближает исходную задачу
(1). Кроме того не требуется перестановочности
операторов
.
Замечание.
В
общем случае решение задачи (1), (2) и
функция
отличается в некоторой норме для
на величину
.
Эти схемы называются аддитивными потому, что свойства выполняются в суммарном смысле.
Схемы применимы для достаточно произвольных областей с кусочно-гладкими границами и переменными коэффициентами.
Рассмотренные выше схемы: переменных направлений, эквивалентные им факторизованные схемы и, наконец, аддитивные схемы, являются представителями схем расщепления по направлению. Наряду с этим активно используются схемы расщепления по физическим процессам.
Рассмотрим для примера нестационарную одномерную задачу диффузии-конвекции.
(9) 
,
(10) 
,
(11) 
.
Предполагается
необходимая гладкость функции
и правой части.
Оператор конвективного переноса, что достаточно плохо, не является самосопряженным. Дополнительными усилиями можно добиться его кососимметричности. Этот оператор преобладает над оператором диффузии, т.е. оператор конвективного переноса вносит основной вклад в решение задачи. Таким образом, если приравнять влияние диффузии к нулю, то решение при дополнительных усилиях не сильно изменится.
Математически
такие задачи называются сингулярно
–возмущенными и и имеют вид:
.
Таким образом, плохие качества оператора конвективного переноса в случае преобладания конвекции над диффузией и несамосопряженности оператора конвективного переноса, обуславливаются наличием пограничного слоя в решении задачи.
Построим
временную сетку
.
На каждом временном интервале будем последовательно решать две задачи.
(12) 
,
(13) 
,
(14) 
(15) 
,
(16) 
.
Дискретизация применяется к каждой из задач таким образом, чтобы на временной сетке для каждого фиксированного времени получалась СЛАУ со знакоопределенной матрицей.
.
Записанная
аппроксимация обладает порядком
точности
.
Задача (15) дискретизируется стандартным образом, как уравнение теплопроводности.