- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
Свойства разностных эллиптических операторов
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона.
В области требуется найти решение уравнения:
(1) ,
если заданы граничные условия:
(2)
Будем предполагать необходимую гладкость функций правых частей (1) и (2).
Для аппроксимации задачи (1), (2), область покроем равномерной сеткой с шагами по оси Ох1 и по оси Ох2 .
.
Внутренностью сетки будем называть множество точек:
,
граничными узлами:
.
Будем использовать пятиточечный шаблон, включающий в себя точки:
.
(3) .
(
Рассмотрим задачу на собственные значения.
Сразу считаем, что . Если это не так, то за счет переопределения в приграничных узлах этого всегда можно добиться
Введем оператор , .
Рассмотрим узлы, лежащие на первой линии снизу, т. е. .
Для узлов « » на PQ :
;
Слагаемое перенесем в правую часть, получим:
.
Для задачи (3), (4) спектральная задача с однородными граничными условиями имеет вид:
(5) ,
(6) .
Решение задачи будем искать в виде:
(7) .
Граничное условие (6), если справедливо (7) будет записано:
, т. к. .
Аналогично,
.
Итак, граничные условия (6) принимают вид:
(8)
Подставим (7) в (5)
, разделим на , получим:
.
.
Поскольку не зависит от , а не зависит от , то обе части (9) не зависят ни от , ни от , следовательно:
(10) , (11) , (12) .
Таким образом, мы получаем две задачи:
(13) , (14) ,
Займемся задачей (13).
, т.е. .
В параграфе 2 главы III было получено:
(15) ,
и набор собственных функций
(16) .
Число собственных значений и собственных функций равно .
Займемся задачей (14).
По структуре она эквивалентна предыдущей задаче и имеет решение:
(17) ,
и набор собственных функций
(18) .
Учитывая соотношения (15), (16), (17), (18), а также (7), (12) получаем решение поставленной спектральной задачи (5), (6):
(19) ,
и набор собственных функций
(20)
Также как и в одномерном случае, приведем приближенные оценки для максимального и минимального собственного значений.
Общее число собственных значений и собственных функций равно .
(21) .
Приведем более “культурную” оценку для .
(22) .
Собственные функции, задаваемые (20) образуют ортонормированный базис. Этот факт можно проверить, введя в гильбертовом пространстве на множестве финитных функций скалярное произведение.
, , тогда скалярное произведение введем следующим образом:
(23) , где - сеточные функции.
Т.е. попарные произведения функций и .
(24) .
Справедливы оценки:
(25) , где получаются по формулам (21) и (22) или путем непосредственным подставлением .
(26)
___________________________________________________________
‼ 1) Используя представление (20) и определение скалярного произведения (23) докажите (24).
2) Используя оценки (21), (22) оценить энергию разностного оператора Лапласа .
3) Доказать самостоятельно (27).
План доказательства.
Из (25) следует, что положительно определен в пространстве финитных сеточных функций.
Используя вторую разностную формулу Грина можно доказать самосопряженность оператора , т.е. (26).
___________________________________________________________