- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
Одним из эффективных методов приближенного решения уравнений являются метод сеток или разностный метод. Область непрерывного изменения аргументов заменяется дискретным множеством точек, которое называется сеткой. Функции, определенные в узлах сетки называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, меняются на разностные производные. Краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Такие системы называют разностными схемами. Остановимся подробно на основных понятиях теории разностных схем.
Одномерный случай. Сеткой на отрезке
называется любое конечное упорядоченное множество точек этого отрезка. Чаще всего будет использоваться равномерная сетка вида:
. Здесь h = ( b –a) / N - шаг сетки.
Двумерный случай. Для прямоугольника G ={ a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } равномерную сетку определим как : , где
и . Здесь
h1 = ( b –a) / N1 и h2 = (d – c ) / N2 - шаги по переменным x и y. Если h1 = h2 , то сетка называется квадратной, иначе – прямоугольной. В общем случае сетка может быть неравномерной.
Рассмотрим понятие сеточной функции. Пусть - сетка, введенная в одномерном случае, а хi - узлы сетки. Функция y = y( x i ) дискретного аргумента х i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Аналогично определяется сеточная функция на любой сетке. Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки.
Пусть задана сетка Множество всех сеточных функций, заданных на сетке , образует векторное пространство. В пространстве сеточных функций можно определить разностные или сеточные операторы.
Оператор , преобразующий сеточную функцию у в сеточную функцию
f = y , называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки, используемое при написании разностного оператора, называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор разностного дифференцирования сеточной функции.
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции u( x), определенной на отрезке Будем считать, что функция u(x) обладает определенной степенью гладкости, тогда разностные производные первого порядка на сетке для функции u( x) находятся по следующим формулам:
- правая, - левая и - центральная разностные производные функции в узле xi . Если точка xi
фиксирована, а шаг h стремится к нулю , то каждое из разностных отношений
стремится к значению производной функции u( x) в точке xi . Заметим, что заменить производную можно любым разностным отношением, но порядок погрешности при такой замене будет разным.
Разностные производные старшего порядка можно ввести по реккурентным формулам. Если в формулах разностной производной первого порядка вместо значений функции в узле сетки использовать значение разностной производной ,то получим формулы для вычисления разностной производной второго порядка, например:
Разностная производная второго порядка не единственная. Аналогично строятся разностные производные любого порядка.
Приведены примеры простейших аппроксимаций дифференциальных выражений разностными на равномерной сетке. И общем случае погрешность зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции.
Дальнейшее изложение посвящено построению и исследованию разностных краевых задач для модельных уравнений математической физики.