1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах

(1) .

Многие случаи корректности оператора (1) можно исследовать, опираясь на общую теорему функционального анализа.

Пусть определен оператор , индекс подразумеваем, который линейный, определен на линейном нормированном пространстве с областью значений .

Теорема 1

Оператор А: взаимнооднозначен, тогда и только тогда, когда множество нулей оператора А состоит лишь из одного элемента .

Теорема 2

Оператор обратный к А, определенному в теореме 1, существует и одновременно ограничен на области значений тогда и только тогда, когда для любого элемента существует такая, что:

(2) , при этом справедлива оценка:

(3) и оператор ограничен.

Опр. 1

Оператор В: называется ограниченным, если для любого существует , что выполняется неравенство: .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть существует и ограничен оператор , следовательно, . Обозначим , тогда . Из последнего неравенства следует оценка . Получаем , что эквивалентно (2).

Получим оценку (3). Вернемся к неравенству . Пусть , тогда:

для любых .

Возьмем точную верхнюю грань по .

.

Вспомним определение нормы оператора.

, следовательно, .

Достаточность.

Необходимо, используя оценку (2), доказать существование и ограниченность обратного оператора и получить оценку нормы оператора.

Выберем .

,

,

,

.

Тогда в силу теоремы 1, .

Осталось доказать ограниченность оператора , т.е. , .

Выберем и подставим в (2).

,

,

, , тогда разделим на , получим:

и переходя к точной верхней грани по , получаем: .

Данная теорема является конструктивной. Ранее мы получали оценки вида:

(4) , где - оператор симметричной разностной производной второго порядка, разностный оператор Лапласа.

Ранее были приведены оценки в случае разностных операторов второго порядка с переменными коэффициентами. Поэтому хотелось бы связать (4) с неравенством вида:

(5) , которое формулировалось в теореме 2.

Сформулируем следствие к теореме 2.

Следствие.

Пусть дано операторно-разностное уравнение , - из гильбертова пространства, и выполняется для любых оценка (4), где . Тогда справедливо неравенство (5), если .

Вспомним неравенство Коши – Буняковского.

.

,

.

Заменим , предполагая выполнение (4).

.

Так как модуль можно опустить.

В силу неравенства (4), получаем:

. Следовательно, имеем:

(6) .

Будем трактовать неравенство (4), как положительную определенность оператора .

Т.е. неравенство (4) выполняется для любых .

Разделим обе части неравенства (6) на , получим:

(7) .

Из полученного неравенства (7) немедленно следует корректность всех разностных задач с положительно определенными операторами.