- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
.
.
Если выбрать произвольную гладкую функцию , то нетрудно показать, что
и эта оценка не улучшаема.
Однако если рассматривать функцию - решение задачи (1), (2):
. (1)
, (2)
то оценка может быть улучшена.
Рассмотрим и покажем что:
. (*)
. (3)
Так как
. (4)
и
,
то
. (5)
Подставим (4) и (5) в (3) получим:
.
Вспоминая, что
получаем
. (6)
Здесь .
Преобразуем разностное граничное условие х=0 с учетом (6).
.
Поскольку граничное условие
,
то мы получаем:
. (7)
. (8)
. (9)
Подставим (8), (9) в (7).
. (10)
Выражение представляет собой левую часть дифференциального уравнения (1) которая выполняется и для х=0
.
Условие на правой границе задается точно и в исследовании не нуждается.
В итоге получаем оценку (*) к которой мы и стремились.
1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
Ранее интегро – интерполяционным методом была построена модель, состоящая из разностных уравнений:
. (1)
. (2)
Решение этой задачи есть вектор .
- решение задачи с непрерывным оператором.
Пользователю важно знать погрешность, введем ее как
. (3)
Мы имеем семейство задач (1-2) которые зависят от как от параметра, размерность решения устремляется к бесконечности, если устремить шаг к нулю.
Подставим выражение (3) в задачу (1) и (2).
. (4)
. (5)
Заметим, что все разностные операторы являются линейными( , числа )
. (6)
. (7)
- решение дискретной задачи,
- решение непрерывной задачи.
Разностное граничное условие (5) запишется в виде:
, (8)
, (9)
. (10)
Задача для погрешности (6), (8), (10) поставлена.
Перед тем, как провести рассуждения относительно погрешности, сформулируем определение сходимости разностного решения.
Определение Локальной сходимости.
Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи с порядком m>0 в точке , если , h – шаг сетки.
На практике используют понятие глобальной сходимости или сходимости по норме. Это в свое время требует введения какой-либо нормы в пространстве функций, определенных на сетке.
или
введем определение глобальной сходимости решения разностной задачи.
Определение Глобальной сходимости.
Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи с порядком m>0 , если
,
где
- определена на сетке, .
Структура задачи (6), (8), (10) совпадает со структурой задачи (1), (2), поэтому целесообразны следующие утверждения.
Определение. Разностная схема (1), (2) устойчива по правой части и граничному условию, если для произвольных правых частей , для любых шагов сетки справедливо неравенство:
, где М=const>0 не зависящая от h. (12)
Оценки вида (12) называют априорными. Получением такого вида оценок занимается теория устойчивости.
Предположим, что оценка вида (12) для задачи (1), (2) выполняется. Тогда сразу следует сходимость разностной задачи (1), (2) к решению непрерывной задачи (1), (2) из параграфа 1, если функция решения спроектирована в .
В соответствии с оценкой (12) для задачи (6)-(10) справедливо неравенство:
.
Ранее было показано, что , поэтому
.
Более общее утверждение называемое теоремой Лакса – Филиппова.
Теорема Лакса – Филиппова. Для линейных разностных задач из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, причем скорость сходимости m совпадает с порядком аппроксимации .