1.9. Заключение по модулю
Первый модуль учебника является основным для дальнейшего понимания курса. Показаны и исследованы методы аппроксимации непрерывных физических моделей конечно-разностными и конечно-элементными аналогами. Исследуется корректность операторных уравнений. Приводятся основные определения и теоремы.
При изложении материала данного модуля использовались разделы линейной алгебры, функционального анализа и математической физики.
Вопросы для самоконтроля
Понятие консервативной разностной схемы.
Понятие погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы. Теорема Лакса- Филиппова.
Основные разностные тождества. Формулы разностного дифференцирования произведения. Разностные формулы Грина.
Свойства собственных чисел оператора разностной производной второго порядка.
Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Исследование устойчивости. Условие FCL для явных разностных схем.
Принцип максимума сеточных функций. Следствия.
Теорема сравнения. Мажоранта.
Определение корректно поставленной разностной модели.
Теорема о равномерной устойчивости двухслойных разностных схем. Основное энергетическое тождество.
Экономичные разностные схемы для нестационарных задач.
Понятие о методе конечных элементов.
1.10. Проектное задание
Упражнение 1. Найдите решение краевой задачи:
,
с переменными
коэффициентами
, и граничными условиями
на основе решения задач Коши.
Упражнение 2. Постройте схему четвертого порядка аппроксимации
для уравнения
, k(x)=1 на равномерной сетке
при использовании трехточечного шаблона.
Упражнение 3. Сформулируйте условие устойчивости явной трехслойной
схемы второго порядка аппроксимации по времени и пространству для задачи
u(x,t)
= v0
(x) ,
,
.
Контрольная работа №1.
Вариант №1.
1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи
,
г.у.
,
,
на
равномерной сетке
,
где
,
.
2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы
,
на
равномерной сетке
,
при 1)
2)
.
3*. Построить непрерывный аналог схемы
,
имеющей
следующий порядок аппроксимации
.
Вариант №2.
1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи
,
г.у.
,
,
на
равномерной сетке
,
где
,
.
2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы
,
на равномерной сетке , при 1) 2) .
3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи
,
на
равномерной сетке
,
где
.
Вариант №3.
1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи
,
г.у.
,
,
на
равномерной сетке
,
где
,
.
2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы
,
на равномерной сетке , при 1) 2) .
3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи
,
на равномерной сетке , где .
Вариант №4.
1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи
,
г.у.
,
,
на равномерной сетке , где ,.
2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы
,
на равномерной сетке , при 1) 2) .
3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи
,
на равномерной сетке , где .
Вариант №5.
1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи
,
г.у.
,
,
на равномерной сетке , где , .
2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы
,
на равномерной сетке , при 1) 2) .
3*. Построить непрерывный аналог схемы
,
,
имеющей
следующий порядок аппроксимации
.