0. Принцип максимума

Напомним определение связности сетки.

Опр.

Сетка называется связной, если найдется множество узлов: , что выполняется:

(7) .

Некоторые из этих точек, попадающих в окрестность, могут быть и граничными.

Теорема 1. Принцип максимума.

Пусть для сеточной функции не являющейся тождественной константой для любых выполняется:

1. , (считаем, что сеточный оператор с коэффициентами, удовлетворяющими условию (5), а сетка -связная), тогда сеточная функция не может достигать наибольшего положительного значения во внутренних узлах сетки.

2. , тогда сеточная функция не может достигать наименьшего отрицательного значения во внутренних узлах сетки.

Доказательство.

Предположим противное: существует такая точка . Тогда найдется хотя бы одна точка .

Так как , среди всех зафиксируем .

В силу связанности сетки существует конечное множество узлов:

.

Рассмотрим уравнение (3′) в точке .

(8) .

В силу (5, 6): в силу (5): .

Если использовать «сильное» определение, то точка - точка в которой сеточная функция достигает наибольшего значения, то , то неравенство (8) не выполняется, т.к. , а .

Более интересным является применение другого «слабого» определения наибольшего значения: - точка в которой сеточная функция достигает своего наибольшего значения, то при условии, что найдется хотя бы одна точка .

Будем ориентироваться на это более содержательное определение.

Тогда , , следовательно . Выберем точку в качестве центра шаблона.

Имеем: .

Так как , то . Следовательно, .

Аналогично проделав для остальных узлов неравенства (3′) тоже самое, приходим к цепочке равенств: .

Теперь рассмотрим левую часть неравенства (8).

.

Полученное неравенство противоречит предположению .

1.5.4. Следствия из принципа максимума

Следствие 1.

Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, кроме одного может быть тождественной константой на сетке.

Сеточная функция , заданная неотрицательна на границе , т.е. и имеет место .

Тогда функция .

Доказательство.

1. Пусть ;

2. 

Рассмотрим первый пункт.

Выберем в качестве точки так называемый приграничный узел, т.е. .

Рассмотрим уравнение (3′) в точке .

(9)

1) , тогда , т.к. .

2) , тогда ,

, .

Отсюда вытекает, что левая часть (9) отрицательна, что противоречит условию, что .

Рассмотрим второй пункт.

Пусть существует точка , тогда в силу предыдущей теоремы 1 , следует, что нет такой точки .

Если точка не единственная точка сетки, в которой значение функции отрицательно, то среди всех этих точек следует выбрать такую точку, что , которая удовлетворяет неравенству. Если не одна, то выбирается любая.

Следствие 2.

Однородное уравнение с однородными граничными условиями , , имеет только тривиальное решение.

Доказательство.

Из теоремы

1)

, если ;

2)

, если

Из 1) и 2) следует, что и , следовательно .

Следствие 3.

Исходное сеточное уравнение при условии, что выполняются ограничения (5), (6), а также сетка связная, имеет единственное решение.

Это следствие вытекает из известной теоремы алгебры, т.к. соответствующая однородная система имеет тривиальное решение в силу следствия 2, следовательно неоднородная система имеет единственное решение.

Опр.

Сеточное уравнение вида:

(1)

будем называть уравнением, а оператор L – оператором из исходного семейства, если (1) определено во внутренних узлах сетки , а - связное множество относительно шаблона.

Следствие 4. Сеточный принцип максимума.

Однородное уравнение с неоднородными граничными условиями , , , где - заданная функция из исходного семейства обладает свойством: ,

т.е. максимальное по модулю значение функции являющейся решением задачи (2), (3) достигается на границе сетки .

Доказательство.

Результат прямо следует из теоремы 1, т.к. для задачи (2), (3) справедливы одновременно случай 1) и 2) теоремы 1.

1) , следовательно наибольшее положительное значение достигается на границе сетки .

2) , следовательно наименьшее отрицательное значение достигается на границе сетки .

Также для следствия 1 можно сформулировать его аналог для .

Следствие 1′.

Пусть дано однородное уравнение из исходного семейства вида:

(4) , с граничным условием Дирихле:

(5) , .

Тогда решение задачи (4), (5) не положительно на , т.е. .