1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
Теорема 2.
Пусть поставлена задача (I) с уравнением из исходного семейства вида:
(1) 
;
(2) .
А также поставлена задача (II):
(3) 
;
(4) 
и выполняются неравенства:
(5′) 
,
то
(5) 
Замечание.
Введем обозначение:
,
.
Т.о. неравенство
(5) можно переписать в виде: 
.
Задачу (3), (4) называют мажорирующей по отношению к задаче (1), (2).
- мажоранта по
отношению к
.
Доказательство.
Зададим сеточные функции:
(6) 
;
(7) 
.
Нетрудно видеть, что
В силу линейности
оператора
,
получаем:
(8) 
(9) 
.
Задача с учетом (8), (9) может быть записана в виде:
(10) 
;
(11) 
.
Задача (10), (11) удовлетворяет следствию теоремы 1:
в силу (5′), и
граничное условие
.
Следовательно,
.
Аналогично функция
.
Вычитая (1) из (3), (2) из (4), и пользуясь линейностью оператора, получаем:
(12) 
;
(13) 
.
Таким образом, получаем аналогичную задачу для функции .
Итак
(14) 
,
с другой стороны
(15) 
,
что и требовалось доказать.
1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
Следствие 1. Оценка решения однородной задачи.
Пусть поставлена задача из исходного семейства:
(1) 
;
(2)
Тогда для нормы решения этой задачи справедлива оценка:
(3) 
,
также справедлива оценка:
Доказательство.
Для задачи (1), (2) построим мажорирующую задачу вида:
(3.1) 
;
(4) 
;
правые части (3.1) и (1) удовлетворяют неравенству:
,
по теореме сравнения
.
Если удастся
доказать, что
,
то требуемый результат будет доказан.
Воспользуемся следствием 4 из теоремы 1, в соответствии с которым для задачи (3.1), (4) справедлива оценка:
и следовательно,
.
Доказательство
проведено в условиях применимости
теоремы 1, т.е.
.
Рассмотрим в данном следствии второй
случай, когда
.
В силу равенства
(4) и из последнего равенства получаем,
что
,
что и требовалось доказать.
Более того, можно доказать,что если поставлена задача (3.1), (4), взяв обобщение (4)
и
,
будет следовать, что
.
Доказанное следствие будет далее использовано для оценки решения неоднородного уравнения с оператором вида:
(5) 
,
(6) 
.
Решение задачи (5), (6) может быть получено в виде двух функций:
,
где
- решение задачи:
(7) 
;
(8) 
,
- решение задачи:
(9) 
;
(10) 
.
Поскольку оценка для задачи (7), (8) была получена в следствии 1, то перейдем к оценки решения задачи (9), (10).
1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
Теорема 3. Оценка решения неоднородного уравнения.
Пусть поставлена задача вида:
(1) ;
(2) 
,
с оператором из исходного семейства
(3) 
.
Тогда имеет место оценка:
(4) 
.
Доказательство.
А) Случай, когда
является тривиальным, т.к. задача (1), (2)
удовлетворяет условиям следствия 2
теоремы 1:
.
Тогда (4) есть равенство:
.
В) Случай, когда
.
Следовательно, существует
.
Рассмотрим для задачи (1), (2) вспомогательную задачу: (5), (6):
(5) 
,
(6) 
.
Поскольку задачи (1), (2) и (5), (6) удовлетворяют в частности условиям теоремы 2, то справедливо неравенство:
(7) 
,
(8) 
.
Пусть точка
- точка в которой
.
Покажем, что эта точка является внутренней точкой, т.е. не может быть граничной.
Предположим
противное, т.е.
,
тогда имеем неравенство:
.
Следовательно,
,
что противоречит условию.
Запишем уравнение (5) в этой точке.
.
Если в задаче (5),
вместо
подставить
,
тогда
,
,
,
т.к.
,
.
Так как
.
С другой стороны,
,
в силу теоремы сравнения.
Заменяя
и переходя к максимуму, получаем:
(10) 
.
Теорема 4. Обобщение теоремы 3
Пусть поставлена задача вида:
(1) ;
(2) ,
с оператором из исходного семейства.
Имеется связная
сетка
и
для
(3) Причем,
,
если
.
Тогда имеет место оценка:
(4) 
.
______________________________________________________________
‼ 1)
- связная, или нет?
2) К чему приведет
устранение условия
?
3) Рассмотреть обобщение теоремы 3 на случай, ограничения на коэффициенты:
______________________________________________________________