1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора

Как правило, дискретизация пространственных производных первого и второго порядка приводит к несамосопряженным операторам. Например, в задачах диффузии – конвекции, конвективная часть задачи порождает несамосопряженный оператор.

Рассмотрим частный случай схемы с весами с несамосопряженным оператором.

(1)

(2) , .

- весовой параметр.

Достаточное условие устойчивости по начальным данным с .

Теорема 1

Схема (1), (2) - устойчива с , если

1. оператор имеет обратный, т.е. существует оператор

   3. . Достаточным условием является .

2. выполняется неравенство

3. .

Для начала докажем вспомогательное утверждение.

Пусть заданы два перестановочных оператора и , такие, что и существует обратный оператор . Тогда операторы также являются перестоновочными, т.е.

(5)

умножим слева на , тогда , обозначим , тогда . Элемент произвольный за счет выбора .

Доказательство:

Для задачи (1) требуется доказать оценку .

Надо получить: , а, следовательно, и . Т.е. надо доказать

(6) при выполнении (3), (4).

- оператор перехода от к , т.е. .

Далее задача (1), (2) будет записана в канонической форме двухслойных схем, а именно:

;

;

.

Итак, оператор .

С учетом (6) мы хотим доказать (4).

.

Вычислим

.

Очевидно, соотношение (7), с учетом (6) приводит к неравенству:

.

(8) .

Так как , то операторы перестановочные - перестоновочные.

Неравенство (8) запишется

.

Введем вектор , тогда

,

,

что и требовалось доказать.

Получим, что если , то выполняется (4) с .

Замечание.

1. Заметим, что неравенство (4) выполняется, если . В частности, если оператор , т.е. кососимметрический, то (4) выполняется для любого параметра .

2. Условие обратимости оператора может оказаться достаточно жестким в случае произвольного оператора . В случае . Если оператор незнакоопределен, тогда вопрос обратимости оператора решается на основе известной теоремы функционального анализа:

Теорема.

С – оператор из банахова пространства в банахово. Е и С – линейные операторы. Оператор имеет обратный оператор , если . При этом выполняется оценка: .

В нашем случае .

, что является жестким ограничением на шаг по времени.

И в случае явной схемы для уравнения теплопроводности .

Если использовать неравенство , то

Иногда обратимость оператора В является более жестким ограничением на шаг по времени, чем условие (4).

Пример 1.

Рассмотрим уравнение теплопроводности.

(*)

поставим в соответствие непрерывной задаче дискретную задачу:

(**)

Дискретную задачу можно записать в операторной форме для уравнения с весами с несамосопряженным оператором.

.

Оператор .

Заметим, что

1. ;

2. было вычислено соотношение

(9) .

-гильбертово пространство сеточных функций, определенных на сетке , таких, что обращаются в ноль при i=0.

Формула (9) может быть преобразована, если учесть что .

.

Получили

(10) , .

Можно воспользоваться неравенством (4).

,

неравенство выполняется для любых тогда и только тогда, когда , получим,

, из этого неравенства получаем допустимые .

__________________________________________________________

‼ Доказать самостоятельно что схема при имеет порядок аппроксимации .

__________________________________________________________

На практике очень часто встречаются схемы вида:

(11)

(12) .

.

Если то мы получаем схему с весами (1), (2) из теоремы 1.

Введем пространство в котором норма унифицирована оператором .

(13) .

Сформулируем теорему о равномерной устойчивости с - устойчивостью для схемы (11), (12) с .

Теорема 2 Обобщение теоремы 1.

Если при любой выполняется неравенство:

(14) ,

тогда схема (11), (12) равномерно устойчива по начальным данным с , т.е.

(15) .

Пример 2.

Рассмотрим одномерное однородное уравнение переноса с переменными коэффициентами.

(16) ,

(17) .

Данная непрерывная задача описывает перенос субстанции концентрацией с положительной скоростью в положительном направлении.

Если взять явную схему, ориентированную по потоку, то методом гармоник можно доказать, что она не устойчива.

Дискретный аналог данной дифференциальной задачи имеет вид:

(18) ,

(19) .

Применим теорему 2 к исследованию устойчивости схемы (18), (19), и получим достаточные условия устойчивости схемы.

Приведем схему (18), (19) к канонической форме.

Разделим обе части (18) на .

(20) ,

, .

Неравенство (14) из теоремы 2, которое мы будем устанавливать запишется:

. Заметим, что .

В примере 1 было получено соотношение:

.

Так как это неравенство выполняется для любых , то оно выполняется и при .

,

, так как , то , откуда получаем, что , с другой стороны, .

Итак, получили - достаточное и необходимое условие устойчивости схемы (18), (19).