- •Модуль 1 Основы теории разностных схем
- •Комплексная цель модуля
- •Введение
- •1.3. Сетки и сеточные функции. Вводные понятия
- •1.4. Построение разностных схем
- •1.4.1. Интегро-интерполяционный метод
- •1.4.2. Консервативные и не консервативные разностные схемы
- •1.4.3. Исследование аппроксимации дифференциального уравнения
- •1.4.4 . Исследование погрешности аппроксимации граничного условия
- •1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для оду второго порядка
- •1.4.6. Разностные операторы и их свойства
- •1. Разностные тождества
- •1.1. Формулы разностного дифференцирования произведения
- •1.2. Первая разностная формула Грина
- •1.3. Вторая разностная формула Грина
- •2. Оператор разностной производной второго порядка и его собственные значения
- •3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
- •1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
- •1.4.9. Исследование устойчивости разностных задач методом гармоник
- •1.4.10. Неявная схема для уравнения теплопроводности
- •1.4.11. Схема с весами
- •1.4.12. Трехслойные разностные схемы
- •Исследование устойчивости методом гармоник однородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Необходимое условие устойчивости
- •1.4.13. Примеры трехслойных разностные схем для уравнения теплопроводности
- •1.5. Принцип максимума и следствия из него
- •1.5.1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
- •1.5.2. Каноническая форма сеточных уравнений
- •1.5.3. Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения
- •Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
- •Принцип максимума
- •1.5.4. Следствия из принципа максимума
- •1.5.5. Теорема сравнения . Мажоранта
- •1.5.6. Следствие из теоремы сравнения
- •1.5.7. Оценка решения неоднородного уравнения
- •1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
- •1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
- •1.6. Энергетический метод исследования устойчивости
- •1.6.1. Некоторые сведения из теории операторов
- •Знакоопределенные операторы
- •1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
- •Свойства разностных эллиптических операторов
- •Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами
- •Корректность операторно-разностных уравнений
- •1.7.1. Общие сведения
- •1.7.2. Краткие сведения об обратимости оператора в линейных нормированных пространствах
- •1.6.3. Свойства операторов разностных производных первого порядка
- •Каноническая форма двухслойных схем и ее применение к исследованию устойчивости
- •1.7.4. Необходимое и достаточное условие устойчивости в на
- •Энергетическое пространство
- •1.7.5. Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора
- •Экономичные схемы для нестационарных задач математической физики
- •Схемы переменных направлений
- •Факторизованные схемы
- •Понятие о монотонных схемах
- •Понятие асимптотической устойчивости.
- •Понятие о трехслойных разностных схемах.
- •Введение в метод конечных элементов
- •Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.
- •Понятие о методе конечных элементов.
- •10. Общее описание метода.
- •20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
- •Свойства приближенного решения мнк.
- •10. Вводные сведения.
- •20. Вариационные свойства приближенного решения.
- •30. Формулы вложения.
- •Сходимость приближенного решения к точному решению.
- •1.9. Заключение по модулю
- •Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Проектное задание
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •1.11. Тест рубежного контроля
- •Бланк правильных ответов
1.6.2. Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве
Рассмотрим случай сеточной функции, определенной на равномерной сетке
, .
Будем рассматривать финитные сеточные функции, если:
.
Содержательно, факт финитности означает, что в случае граничных условий первого рода разностную задачу можно переформулировать таким образом, что граничные условия станут нулевыми.
(1) ;
(2) ;
Пусть
(3) .
Аналогично для
(4) .
Будем считать, что .
Изменим постановку задачи (1), (2), скорректировав правую часть в зависимости от узла (в приграничных узлах), а также заменив правые условия на однородные.
(5) ;
(6) ;
(7)
Задачи (1), (2) и (5), (6) эквивалентны за исключением двух точек: х=0, х=N-1, где значения сеточных функций были переопределены.
Введем на сетке скалярное произведение: .
(8)
___________________________________________________________
‼ Проверить аксиомы скалярного произведения самостоятельно.
___________________________________________________________
На пространстве сеточных функций определенных на сетке рассмотрим оператор симметричной разностной производной второго порядка .
.
Используя ранее введенные формулы Грина, установим некоторые свойства этого оператора.
Свойство 1.
Оператор является положительным, т.е. , из пространства финитных функций из гильбертова пространства, т.е. .
Доказательство:
Используем первую формулу Грина, где ,
.
В соответствии с полученными результатами задача (1), (2) сведенная к задаче (5), (6) имеет единственное решение. Это следует из того факта, что задача (5), (6) может быть записана в виде , где , следовательно, существует и ограничен оператор , таким образом . Кроме того, тогда и только тогда, когда .
___________________________________________________________
‼ Показать самостоятельно, что этот оператор линейный.
___________________________________________________________
Свойство 2.
Оператор является самосопряженным, т.е. ,.
Доказательство:
Используем вторую разностную формулу Грина,
.
Следовательно, .
Второе свойство в совокупности с первым позволяет ввести энергетическое пространство сеточных функций, которое представляет собой частный случай Гильбертова пространства сеточных функций с определенным специальным образом скалярным произведением и нормы, которая называется энергетической нормой.
.
________________________________________________________________
‼ Доказать, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Показать самостоятельно, что этот оператор линейный. Проследить где используется самосопряженность оператора, а где его положительность.
________________________________________________________________
(9) ;
(10) .
Получим нужные в дальнейшем оценки вида:
(11) .
Эти оценки, по возможности, должны быть не улучшаемыми, т.е. должно быть наименьшим, а - наибольшей константами.
Получим оценку (11) используя информацию о спектре оператора .
___________________________________________________________________________________________________________
‼ Доказать равенство самостоятельно.
________________________________________________________________
Ранее было получено, что спектральная задача:
;
имеет решение:
(12) - собственные значения.
(13) ;
(14) , .
Так как оператор самосопряженный, то существует базис из собственных векторов этого оператора, который можно пронормировать. Элементы этого базиса заданы собственными функциями .
в силу ортогональности
.(15)
Оценим сверху и снизу полученную сумму.
.
Учитывая равенство (15) и последнее соотношение, получаем:
.
В виде можно взять . На самом деле, приведенное ранее значение превышает , т.к. . Поэтому должна быть заменена на .
Используя (15), получим оценку сверху.
.
Итак, получили оценку:
(16) .
Вспомним определение нормы оператора в линейном нормированном пространстве.
.
Не трудно показать, что
(17) .
В этой оценке понимается минимальная из всех возможных норм оператора.
________________________________________________________________
‼ Показать самостоятельно, что с точностью до величины О(1).
________________________________________________________________