1.5.8. Исследование устойчивости разностных схем на основе принципа максимума и следствий из него
Принцип максимума дает достаточные условия устойчивости по граничным данным и по правой части.
В ряде случаев можно получить устойчивость и по начальным данным, если начальные условия учесть в правой части.
Пример.
Рассмотрим непрерывную задачу:
(1) 
(2) 
Считаем, что уравнение невырожденное.
(3) 
.
Поскольку коэффициенты постоянны, то
(4) 
,
(5) 
.
Запишем дискретную задачу (4), (5) в канонической форме.
(6) 
,
, 
.
(7) .
Поставим задачу.
Используя запись (6), (7), ограничения (3) требуется доказать устойчивость задачи (6), (7) по граничным данным и правой части.
Чтобы доказать устойчивость необходимо доказать неравенство:
(8) 
,
.
Рассмотрим две вспомогательные задачи:
I. 
.
Выполняются все условия теоремы сравнения (теорема 2), а именно:
.
Для
.
Следовательно, из теоремы 2, получаем:
(9) 
,
.
Неравенство (9)
означает, что
в
доказанной оценке (8) равна 1.
II.
(10) 
(11) 
.
Очевидно, все условия теоремы 3 выполняются, следовательно, справедлива оценка:
.
, 
.
(12) 
, 
.
Из неравенства треугольника и оценок (12), (9) следует оценка:
.
Полученная оценка может быть использована для доказательства сходимости.
Рассмотрим задачу для погрешности.
Введем погрешность:
.
,
подставим в исходную разностную схему
(4), (5):
(4) ,
(5) .
(13) 
,
(14) 
.
По структуре (13), (14) аналогична исходной разностной схеме, отличие состоит лишь в правых частях.
В правой части (13) стоит погрешность аппроксимации исходного разностного дифференциального уравнения разностной схемой на решении задачи.
Ранее было показано, что:
(12′) 
, 
.
В соответствии с доказанным и неравенством (12′) получаем,
.
1.5.9. Примеры решения задач на принцип максимума и следствий из него
Используя принцип максимума, установить достаточное условие устойчивости явной схемы для однородного уравнения теплопроводности.
Пример 1.
(1) 
(2) 
.
В канонической
форме
.
Проверим:
.
Пусть
,
.
Следовательно, не
существует такого
,
чтобы
.
Следовательно, либо Р неподходящее,
либо схема не устойчива.
Возьмем
.
.
Схема будет из
исходного семейства, если
,
т.е.
.
Замечание.
Интересно отметить, что такое же ограничение будет получено энергетическим методом для исследования устойчивости.
Во внутренних
узлах сетки
:
(3) 
.
К полученной задаче применим следствие 4 теоремы 1.
Поэтому 
. (*)
Границей для данной
сеточной задачи является множество
узлов:
.
Предполагается, что условия согласованны.
(*) 
.
Второй способ предпочтительнее.
Непосредственно учитываем граничные условия (2) в уравнении (1).
Для
как
и ранее.
В точке
получим (3) в виде:
Получим каноническую форму.
.
Уравнение необходимого условия, следовательно,
.
В точке
.
Следовательно,
.
В
точках
,
.
В точках
имеем:
.
.
Формально считаем,
что все
,
т.к. окрестность точки Р – пустое
множество, т.е. точка Р – единственная.
В силу теоремы 4
воспользуемся
неравенством многоугольников и тем,
что
получим
Пример 2.
(1) 
(2) 
(3) 
.
Так как коэффициенты постоянные, то будем использовать аппроксимацию
,
,
.
Для повышения
порядка можно взять
.
Разобьем нашу
задачу на две, представив решение в
виде:
.
Разделим (2) на к и переобозначим, получим:
;
,
,
продифференцируем.
.
.
Для задачи (4) – (6) сформулируем вспомогательную задачу:
Последняя задача
имеет решение:
.
В силу теоремы сравнения
(10) 
.
Займемся задачей (7), (8), (9), ориентируясь на теорему 4.
Уравнение (7) из исходного семейства
в котором
и
.
Займемся точкой
,
используя равенство (8).
;
;
.
Таким
образом
.
Запишем уравнение
(7) в
.
;
;
;
Исследование устойчивости закончено, если учесть, что
используем
неравенство треугольников
.
.