3. Обобщение оценок для скалярных произведений, содержащих оператор второй разностной производной с переменными коэффициентами
С точки зрения приложений важным является случай разностного оператора вида:
. (1)
Считаем, что все
коэффициенты
.
.
Будем использовать константы
.
Имеют место оценки, приводимые без доказательства.
. (2)
______________________________________________________________
‼ Используя формулы Грина получить оценки вида:
, 
.
______________________________________________________________
1.4.7. Построение разностных схем для уравнения теплопроводности
Рассмотрим случай уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.
. (1)
. (2)
. (3)
Согласование начальных и граничных условий:
.
На плоскости
переменных (x,t)
построим сетку, считая, что
.
Поскольку уравнение с постоянными коэффициентами, можно использовать непосредственную аппроксимацию.
Явная схема.
(4)
. (5)
.
(6)
Возникает два вопроса:
Как связаны функции
и
?Корректно ли поставлена задача (4, 5, 6), т.е. существует ли ее решение, единственно ли оно, каким образом это решение зависит от входных данных.
Применительно к (4, 5, 6) должна выполняться оценка:
,
(*)
- постоянные
независящие от узлов сетки;
- решение задачи
с возмущенными: правой частью, начальными
и граничными условиями.
Алгоритм вычисления
по схеме (4, 5, 6) очевиден, т.к. система (4,
5, 6) имеет СЛАУ с диагональной матрицей
вида: 
.
Отсюда следует однозначная разрешимость.
______________________________________________________________
‼ Выписать
матрицу
в явном виде, в том числе и приграничных
узлах i=1, i=N-1.
______________________________________________________________
Относительно
первого пункта будет важным оценить
погрешность решения дискретной задачи
.
. (7)
Как правило пользователя интересует оценка вида:
. (8)
Числа
определяют порядок аппроксимации
соответственно по пространственной
переменной и по времени. Правильнее
сказать, это порядок аппроксимации
соответственно шагов
и
.
М=const независящая от шагов и .
Тогда из оценки (8) следует, что
.
Оценка (8) для
линейных задач будет следовать из факта
аппроксимации разностной задачей
дифференциальной задачи и из устойчивости
разностной задачи определяемой
неравенством (*). Вместо неравенства (*)
будем использовать более простое
неравенство, полученное из (*) при
,
следовательно, тогда и
.
Тогда вместо (*) получим:
. (9)
Неравенство (9) и
означает устойчивость модели по правой
части F, по начальным
данным
и по граничным условиям
,
или просто устойчивой.
1.4.8. Связь аппроксимации, устойчивости, сходимости для линейных разностных задач
Пусть задана разностная задача:
(1)
. (2)
. (3)
Аккуратно введем
понятие погрешности аппроксимации.
Подставим
в
(1, 2, 3).
Введем погрешность
аппроксимации
,
которую имеет разностная задача на
решении исходной непрерывной задачи,
то есть невязка при подстановке решения
непрерывной задачи в разностную задачу.
Получили задачу для погрешности.
; (4)
; (5)
. (6)
Задача (4), (5), (6) по структуре представляет собой задачу (1), (2), (3), в частном случае, когда нулевые граничные и начальные условия.
Пусть разностная задача (1), (2), (3) устойчива, то есть выполняется:
, (7)
тогда будет
устойчива и задача (4), (5), (6), т.е. имеет
место аналог этого неравенства
.
Если разностная задача (1), (2), (3) аппроксимирует непрерывную задачу (1), (2), (3) см. §6, то есть
,
то из неравенства (7) по теореме «о двух милиционерах» следует, что
.
То есть из аппроксимации и устойчивости следует сходимость решения разностной задачи к решению непрерывной задачи:
при
.
Если известны
порядки для погрешности аппроксимации,
то известны порядки определяющие
скорость сходимости, то есть если
известно
,
то
.
Явная схема (1), (2), (3) имеет следующую оценку для погрешности аппроксимации на решении:
.
Эта оценка будет получена как частный случай более общей оценки для погрешности аппроксимации схемы с весами. Исследование устойчивости наиболее универсальным энергетическим методом будет выполнено в следующем разделе.
Однако, получим необходимое условие устойчивости. Будем исследовать методом гармоник.