Контрольні питання до лабораторної роботи.

1. Що мають на увазі під умовною вірогідністю подій?

2. Виразіть формулу повної вірогідності і формулу Байеса через умовну вірогідність.

3. Навести формулу повної ймовірності.

4. Як розраховується ймовірність випадкових подій на прикладах зі спорту?

Самостійна робота №7.

«Використання комбінаторики в теорії ймовірностей»

1. Загальні поняття комбінаторики.

2. Визначення сполучень, перестановок та розміщень.

3. Математичні моделі комбінаторики.

4. Методи знаходження ймовірностей

5. Контрольні питання до самостійної роботи

Форма захисту самостійної роботи: написання конспекту, опитування, рішення задач.

Література:

1. Ашанин В.С. Основы теории вероятностей. Серия «Спортивная информатика», вып.4 - Харьков.: ХаГИФК, 1998. –179 с.,

2. Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистические методы в медико-биологических исследованиях с использованием Excel. – 2-е изд. перераб. и доп. – К.: МОРИОН, 2001. – 408 с. .

3. Начинская С.В. Основы спортивной статистики. - К.: Вища школа, 1987. – 189 с

4. Толбатов Ю.А. Загальна теорія статистики засобами EXCEL. Навчальний посібник. – К.: Четверта хвиля, 1999.-224 с.

Загальні поняття комбінаторики.

У задачах по теорії вірогідності часто необхідно знати, скільки вибірок може бути зроблено з певної сукупності. При цьому розрізняють випадки, для яких важливий або не важливий порядок відбору елементів на результат.

Припустимо, є множину з n ідентифікованих елементів (наприклад, чисел або букв). Нас цікавитиме, яким способом можна розташувати ці елементи по до місць, наступних один за одним.

Визначення сполучень, перестановок та розміщень.

Якщо вважаються різними сукупності, відмінні порядком елементів, то ми говоритимемо про перестановки. Співвідношення, проведені нижче, виводяться із спеціального розділу математики - комбінаторики. Число перестановок з n елементів по до визначається формулою:

де n! (читається: n факторіал) - є твором цілих чисел від 0 до n : n! = 1  2  ...  ( n -1 )  n. Зокрема, при n = до

Pnk = n! Під поєднаннями розуміється кількість к-елементних підмножин n-елементної множини, де різними підмножинами вважаються ті, які мають різний склад елементів. Таким чином, при поєднаннях неістотно, в якому порядку розташовані елементи. Число поєднань визначається по формулі:

Математичні моделі комбінаторики.

Приклад. З рівномірно перемішаної картотеці гравців футбольної команди, що складається з 3 воротарів, восьми захисників і шести нападаючих, навмання витягують одинадцять карток. Яка вірогідність того, що у витягнутих картках опиниться один воротар, шість захисників і 4 нападаючих ?

Визначимо число поєднань для одного воротаря:

Число поєднань для шести захисників:

Число поєднань для чотирьох нападаючих:

Число поєднань для 11 гравців:

Підсумкову вірогідність формування команди заданого складу випадкової вибірки можна обчислити як відношення числа сприятливих випадків до загального числа можливих поєднань:

Приклад. У урні а білих і b чорних куль. З урни навмання виймають до куль. Знайти вірогідність того, що серед них буде l білих і к-l чорних ( l  а, до - l  b ).

Визначимо число сприятливих випадків n. Число способів, якими можна вибрати b білих куль з а, рівне Са; число способів, якими можна вибрати к-l чорних кроків, рівне Сb. Кожна комбінація білих куль може поєднуватися з кожною комбінацією чорних числом дослідів n = Cа  Cb. Загальне число можливих поєднань N =Ca+b, тоді вірогідність